Cauchyprodukt v. Fourierreihen < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:35 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
unter gewissen Voraussetzungen sollte das Cauchyprodukt zweier Fourierreihen wieder eine Fourierreihe sein. Bekannt ist, dass man, wenn die Fourierreihen in komplexer Darstellung vorliegen, man die Fourierkoeffizienten des Produkts mit Hilfe einer gewissen Faltungsformel berechnen kann:
Aus [mm] $f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k \exp(ikx)$ [/mm] und [mm] $g(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty d_k \exp(ikx)$ [/mm] folgt
[mm] $f(x)*g(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \underbrace{\sum_{\ell=-\infty}^\infty c_\ell d_{k-\ell}}_{h_k} \exp(ikx)\,.$ [/mm] |
Eigentlich will ich das nur formal nachrechnen, aber irgendwo hapert's - ich dachte, man könnte das probieren, indem man
[mm] $\left(\sum_{k=-\infty}^\infty c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=-\infty}^\infty d_k \exp(ikx)\right)$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum_{k=0}^\infty c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=0}^\infty d_k \exp(ikx)\right)+\left(\sum_{k=-\infty}^{-1} c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=0}^\infty d_k \exp(ikx)\right)
[/mm]
[mm] $+\left(\sum_{k=0}^\infty c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=-\infty}^{-1} d_k \exp(ikx)\right)+\left(\sum_{k=-\infty}^{-1} c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=-\infty}^{-1} d_k \exp(ikx)\right)$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum_{k=0}^\infty c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=0}^\infty d_k \exp(ikx)\right)+\left(\sum_{k=1}^{\infty} c_{-k} \exp(-ikx)\right)*\left(\sum_{k=0}^\infty d_k \exp(ikx)\right)
[/mm]
[mm] $+\left(\sum_{k=0}^\infty c_k \exp(ikx)\right)*\left(\sum_{k=1}^{\infty} d_{-k} \exp(-ikx)\right)+\left(\sum_{k=1}^{\infty} c_{-k} \exp(-ikx)\right)*\left(\sum_{k=1}^{\infty} d_{-k} \exp(-ikx)\right)$
[/mm]
schreibt und dann das "übliche" Cauchyprodukt (mit je nur "einseitiger
unendlicher Grenze") anwendet - aber irgendwie sehe ich dann nicht, wie da diese "Faltung" der (beidseitig unendlichen) Folgen der Fourierkoeffizienten entsteht.
Hat das schonmal jemand durchgerechnet oder kennt einen Link? Ich will das ganze einfach nur formal nachrechnen, also ohne groß den Fubini oder sowas drauf loszulassen...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Verstehe ich dich richtig, dass du nur die Formel aus der Fragestellung nachrechnen möchtest? Dies hat eigentlich nichts mit Fourier-Reihen oder Reihen zu tun, sondern lässt sich in sehr viel allgemeinerem Rahmen tun, das Konzept, das der Faltung zugrunde liegt ist das des Monoidringes. Summiert werden Terme der Form $ exp (ikx) $ - in der eune einen Reihe, in der anderen Reihe und in der Faltung. Statt [mm] $\sum c_k [/mm] exp [mm] (ikx)*\sum d_k [/mm] exp (ikx) $ kannst du auch schreiben [mm] $\sum b_k*c_l*exp [/mm] (ilx)*exp (ikx) [mm] =\sum b_k c_l [/mm] exp (i (l+k) x) $. Wenn du jetzt alle Summanden zu einem exp (ihx) mit h=l+k betrachtest, sind die Koeffizienten zu diesem Term genau die [mm] $b_k c_l [/mm] $, sodass $ h=l+k $, also muss zu $ [mm] b_q [/mm] $ der Index zum $ c $ gegeben sein durch $ h-q $. Anders gesagt ist zu $ exp (ihl) $ der Koeffizient einfach [mm] $\sum_q b_q c_{h-q} [/mm] $ und insgesamt erhälst du [mm] $\sum \sum_q b_q c_{h-q} [/mm] exp (ihx) $. Nun habe ich meine Buchstaben etwas ungeschickt gewählt, aber das ist das was rauskommen soll.
Im Prinzip rechnest du im Ring [mm] $\IR [[\IZ]] [/mm] $. Das ganze ist man zum Beispiel gewohnt vom Ring der formalen Potenzreihen, welcher [mm] $\IR [[\IN]] [/mm] $ entspricht, aber alles hier gesagte funktioniert für beliebige Grundringe und Monoide und ist eigentlich kein analytisches Problem.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
(Verzeih die schlechte Form, aber ich komme mit meinem Handy nicht so suorr klar)
Eigentlich wollte ich nur halb beantworten, weil ich vermute, dass du einen Analysis-Weg suchst, aber das kann man wohl nachträglich nicht ändern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Universelles Objekt,
> Hallo Marcel,
>
> Verstehe ich dich richtig, dass du nur die Formel aus der
> Fragestellung nachrechnen möchtest? Dies hat eigentlich
> nichts mit Fourier-Reihen oder Reihen zu tun, sondern
> lässt sich in sehr viel allgemeinerem Rahmen tun, das
> Konzept, das der Faltung zugrunde liegt ist das des
> Monoidringes. Summiert werden Terme der Form [mm]exp (ikx)[/mm] - in
> der eune einen Reihe, in der anderen Reihe und in der
> Faltung. Statt [mm]\sum c_k exp (ikx)*\sum d_k exp (ikx)[/mm] kannst
> du auch schreiben [mm]\sum b_k*c_l*exp (ilx)*exp (ikx) =\sum b_k c_l exp (i (l+k) x) [/mm].
> Wenn du jetzt alle Summanden zu einem exp (ihx) mit h=l+k
> betrachtest, sind die Koeffizienten zu diesem Term genau
> die [mm]b_k c_l [/mm], sodass [mm]h=l+k [/mm], also muss zu [mm]b_q[/mm] der Index zum
> [mm]c[/mm] gegeben sein durch [mm]h-q [/mm]. Anders gesagt ist zu [mm]exp (ihl)[/mm]
> der Koeffizient einfach [mm]\sum_q b_q c_{h-q}[/mm] und insgesamt
> erhälst du [mm]\sum \sum_q b_q c_{h-q} exp (ihx) [/mm]. Nun habe
> ich meine Buchstaben etwas ungeschickt gewählt, aber das
> ist das was rauskommen soll.
>
> Im Prinzip rechnest du im Ring [mm]\IR [[\IZ]] [/mm]. Das ganze ist
> man zum Beispiel gewohnt vom Ring der formalen
> Potenzreihen, welcher [mm]\IR [[\IN]][/mm] entspricht, aber alles
> hier gesagte funktioniert für beliebige Grundringe und
> Monoide und ist eigentlich kein analytisches Problem.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
>
> (Verzeih die schlechte Form, aber ich komme mit meinem
> Handy nicht so suorr klar)
kein Problem, ich muss mir das aber nochmal in Ruhe anschauen, was Du
da genau beschreibst. Mir geht's gerade tatsächlich einfach nur darum,
dass ich "die richtige Sortierung" erkenne - irgendwie stehe ich da auf dem
Schlauch.
Ich hatte das mal so gerechnet, wie vorgeschlagen, man erkennt dann
auch mit einer "Hilfsrechnung", dass da wieder die Form "Fourierreihe"
steht - aber ich habe dann am Ende 6 Reihen (auf jeden Fall mehr als
eine) stehen, von denen ich die Koeffizienten noch zusammenfassen
müsste. Das ist alles andere als schön - irgendwo rechne ich einfach zu
kompliziert. Außerdem "sehe" ich nicht, dass mein Ergebnis passend wäre.
> Eigentlich wollte ich nur halb beantworten, weil ich
> vermute, dass du einen Analysis-Weg suchst, aber das kann
> man wohl nachträglich nicht ändern.
Doch, als Mod kann ich das. 
Auf jeden Fall danke schonmal!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 21.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe noch eine weitere Frage, die sich aus dem obigen (noch nicht formal
wirklich klar nachgerechneten) Ergebnis ergibt:
Angenommen, wir haben die Messwerte zweier Signale
[mm] $a_1,...,a_n$
[/mm]
und
[mm] $b_1,...,b_n,$
[/mm]
wir tasten äquidistant ab. Wenn jetzt die Funktionen
[mm] $a(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \tilde{a}_k e^{ikx}$
[/mm]
und
[mm] $b(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \tilde{b}_k e^{ikx}$
[/mm]
als komplexe F.R. darstellbar wären, so habe ich ja oben die Formel
$(a * [mm] b)(x)=a(x)*b(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{\ell=-\infty}^\infty \tilde{a}_\ell \tilde{b}_{k-\ell} e^{ikx}.$
[/mm]
Wenn jetzt [mm] $A_1,...,A_n$ [/mm] die Ergebniss der FFT der [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] in Matlab sind, analog [mm] $B_1,...,B_n$:
[/mm]
Wie kann ich denn damit dann
[mm] $\sum_{\ell=-\infty}^\infty \tilde{a}_\ell \tilde{b}_{k-\ell}$
[/mm]
approximieren?
Ich dachte, dass das mit der Faltung von [mm] $(A_1,...,A_n)$ [/mm] mit [mm] $(B_1,...,B_n)$ [/mm] in Matlab
funktionieren würde - aber ich habe Testrechnungen gemacht, wo in Matlab
bei [mm] $\text{fft}((a_1,...,a_n) \;.\* (b_1,...,b_n))$ [/mm] gänzlich was anderes rauskommt. Hat
da jemand eine Idee?
(Anders formuliert ist die Frage: Wie kann ich (eventuell mit Hilfe der Faltung)
die Fourierkoeffizienten einer Produktfunktion ermitteln, wenn ich die
Fourierkoeffizienten der jeweils beteiligten Funktion schon ermittelt habe)?
Von der Theorie her dachte ich eigentlich - siehe obige Formel - dass das
mit "Faltung" der fft-Werte geht - in der Praxis klappt das bei mir nicht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Do 23.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die letzte Frage hat sich erledigt, ich habe da eine Methode gefunden und
entwickelt, die momentan zufriedenstellend läuft..
Bzgl. der Ausgangsfrage kann ich nur sagen, dass mir die Antwort von
Universelles Objekt erstmal ganz plausibel erscheint - für endliche Summen
passt das - und formal kann ich dann einfach mal gucken, wie das aussieht,
wenn eine der beiden Summen unendlich ist.
Wenn aber jemand eine schöne, andere Herleitung der Formel bzw. auch
einen Beweis der Aussage präsentieren kann, wäre das schön, sowas auch
noch zu sehen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 22.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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