Cauchyscher Grenzwertsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Tom1989 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen und sei
[mm] (\overline{a}_{n}) [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_{k}
[/mm]
die Folge der Mittelwerte.
1. Zeigen Sie: Konvergiert [mm] (a_{n}) [/mm] gegen ein a [mm] \in \IR [/mm] , so konvergiert auch [mm] (\overline{a}_{n}) [/mm] gegen a.
2. Gilt auch die Umkehrung? |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sitze jetzt schon seit gestern an dieser Aufgabe.
Einiges ist mir klar geworden, jedoch weiss ich nicht, wie ich anfange den Beweis zu machen.
Mein Ansatz für diese Aufgabe ist der, dass ich erstmal dem Grenzwert a von [mm] (a_{n}) [/mm] einen Wert zuordne.
Also sei a=0 und sei ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] > 0 .
Also wie zeige ich jetzt, dass der Grenzwert von
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_{k}
[/mm]
auch 0 ist? Ich kann ja hier nichts gleich setzen o. ä. .
Weiterführend habe ich in einem Buch gefunden, dass man mit
[mm] |(a_{n})| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] anfangen sollte.
Aber warum eigentlich [mm] \bruch{\varepsilon}{2}.
[/mm]
Kann mir jemand das Grundschema dieser Aufgabe erklären oder evt die ersten Schritte?
Vielen Dank schonmal im Voraus
Lg Tom1989
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Ich nehme wie Du $a=0$ an. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gegeben. Spalte die Summe auf:
[mm] $\bruch [/mm] 1 {m+n} [mm] \sum_{k=1}^m a_n [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 1 {m+n} [mm] \sum_{k=m+1}^{m+n} a_n$.
[/mm]
Jetzt gibt es ein $m$, so daß der Betrag des rechten Summanden für jedes $n$ kleiner [mm] $\epsilon/2$ [/mm] bleibt,
und ein $n$, so daß der Betrag des linken Summanden für jedes $l>n$ kleiner als [mm] $\epsilon/2$ [/mm] bleibt.
Hilft das schon mal?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 27.11.2011 | | Autor: | Tom1989 |
Okay also ich hab da einfach mal angesetzt:
Sei also [mm] (\overline{a}_{n}) [/mm]
[mm] \bruch{1}{m+n}\summe_{k=1}^{m}a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m+n}\summe_{k=m+1}^{m+n}a_{n}
[/mm]
Sei
b:= [mm] \summe_{k=1}^{m}a_{n}
[/mm]
c:= [mm] \summe_{k=m+1}^{m+n}a_{n}
[/mm]
Also sei
[mm] \bruch{1}{m+n} [/mm] |b| + [mm] \bruch{1}{m+n} [/mm] |c| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} +\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Das würde dann heißen, dass [mm] (\overline{a}_{n}) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Die Frage ist ob meine Vermutung, für alle n>m und l>m wenn ich das mit deinem l richtig interpretiert habe.
Ist das schon der Beweis? ich hab das ja jetzt einfach nur eingesetzt. Das mit dem l>n hab ich nicht so richtig verstanden. Was für ein l?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 27.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Okay also ich hab da einfach mal angesetzt:
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> Sei also [mm](\overline{a}_{n})[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{m+n}\summe_{k=1}^{m}a_{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{m+n}\summe_{k=m+1}^{m+n}a_{n}[/mm]
>
> Sei
>
> b:= [mm]\summe_{k=1}^{m}a_{n}[/mm]
>
> c:= [mm]\summe_{k=m+1}^{m+n}a_{n}[/mm]
>
>
> Also sei
> [mm]\bruch{1}{m+n}[/mm] |b| + [mm]\bruch{1}{m+n}[/mm] |c| <
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2} +\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Das würde dann heißen, dass [mm](\overline{a}_{n})[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] ist.
>
> Die Frage ist ob meine Vermutung, für alle n>m und l>m
> wenn ich das mit deinem l richtig interpretiert habe.
>
> Ist das schon der Beweis? ich hab das ja jetzt einfach nur
> eingesetzt. Das mit dem l>n hab ich nicht so richtig
> verstanden. Was für ein l?
Das ist noch nicht der Beweis, den ich meinte.
Wir müssen zeigen:
1) Es gibt ein [mm] $m\in\IN$, [/mm] so daß für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $\bruch [/mm] 1 [mm] {m+n}*\sum_{k=m+1}^{m+n} |a_k| [/mm] < [mm] \epsilon/2$
[/mm]
ist. Hierzu benutze die Voraussetzung [mm] $a_k\to [/mm] 0$, nach der es ein $m$ gibt mit
[mm] $|a_k| [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle $k>m$.
2) Nun, nachdem wir das $m$ festgelegt haben, finden wir ein $n$, so daß
[mm] $\bruch [/mm] 1 [mm] {m+n}*\left|\sum_{k=1}^m a_k\right [/mm] |< [mm] \epsilon/2$
[/mm]
ist. Diese Ungleichung ist z.B. für ein [mm] $n>\bruch {2*\left|\sum_{k=1}^m a_k\right| } {\epsilon}$ [/mm] erfüllt.
Für alle $l>m+n$ folgt:
[mm] $\left |\bruch 1 l \sum_{k=1} ^l a_k\right|$
[/mm]
[mm] $\le\bruch [/mm] 1 l * [mm] \left|\sum_{k=1} ^m a_k\right| [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 1 l [mm] \sum_{k=m+1}^l |a_k|$
[/mm]
[mm] $\le\bruch [/mm] 1 {m+n} [mm] *\left|\sum_{k=1} ^m a_k\right| [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 1 l [mm] \sum_{k=m+1}^l |a_k|$ [/mm] (weil $l > m+n$)
[mm] $\le\epsilon/2 [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 1 l [mm] \sum_{k=m+1}^l |a_k|$ [/mm] (wg. Schritt 2)
[mm] $=\epsilon/2 [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 1 {m+(l-m)} [mm] \sum_{k=m+1}^{m+(l-m)} |a_k|$
[/mm]
[mm] \le \epsilon/2 [/mm] + [mm] \epsilon/2$ [/mm] (wg. Schritt 1)
Hilft dies jetzt?
Grüße,
Wolfgang
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