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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:17 Mo 05.01.2009 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Es seien [mm] r\in\mathbb{R}, [/mm] r>0 und [mm] w,z\in\Delta:=\Delta_r(0). [/mm] Bestimmen Sie für alle natürlichen Zahlen [mm] m,n\geq [/mm] 1 den Wert des Integrals
[mm] \int_{\partial \Delta}\frac{d\zeta}{(\zeta-w)^m(\zeta-z)^n}.
[/mm]
Tipp: Behandeln Sie zunächst den Fall m=n=1 mit einer Partialbruchzerlegung. Benutzen Sie dann zweimal den folgenden Satz:
Für jede stetige Funktion [mm] h\in C(\partial \Delta) [/mm] ist die Funktion
[mm] \hat{h}(z)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial \Delta}\frac{h(\zeta)d\zeta}{\zeta - z}, z\in\Delta
[/mm]
unendlich oft komplex differenzierbar in [mm] \Delta [/mm] und es gilt:
[mm] \hat{h}^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial \Delta}\frac{h(\zeta)d\zeta}{(\zeta - z)^{n+1}}, z\in\Delta, n\in\mathbb{N} [/mm] |
Hallo zusammen,
komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, die Grundidee meine ich ja langsam verstanden zu haben (schauen, welche Integraldarstellung passt und dann nach dem Integral umformen), aber hier verstehe ich schon nicht so ganz, wie ich für m=n=1 das Integral mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung auswerten soll.
Wäre nett, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.
Viele Grüße
Gregor
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Hallo Gregor,
das Cauchy-Integral rekonstruiert eine Komplexe Funktion über ihre Funktionswerte [mm] h(\zeta) [/mm] auf dem Rand [mm] \partial \Delta. [/mm] Bei dir ist h jedoch unbekannt. Für m=n=1 kannst du dein Integral durch PBZ direkt in ein Cauchy-Integral umschreiben und zwar in dem Du
[mm] \frac{1}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\frac{a}{(\zeta-z)}+\frac{b}{(\zeta-\omega)}
[/mm]
anschreibst und die Koeffizienten a und b z.B. durch Hauptnennerbildung bestimmst. Da dein Integral linear in jedem Argument ist kannst Du Dein Integral auf beide Teilsummen verteilen und es steht schon das Cauchy-Integral da wobei die gesuchte Funktion [mm] h(\zeta)=a [/mm] bzw b ist.
Für die m und n ungleich 1 musst du die Ableitungen des Cauchy-Integrals bemühen.
Den Fall m=n muss man gesondert behandeln.
VG Markus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 10.01.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Markus,
vielen Dank für Deine Hinweise.
Sei m=n=1. Dann gilt:
[mm] $\frac{1}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\frac{\frac{1}{2(\zeta-z)}}{(\zeta-\omega)}+\frac{\frac{1}{2(\zeta-\omega)}}{(\zeta-z)}$
[/mm]
Dann folgt mit der Linearität des Integrals und dem Cauchyschen Integralsatz für Kreisscheiben:
[mm] $\int_{\partial \Delta}\frac{d\zeta}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\int_{\partial \Delta}\frac{\frac{1}{2(\zeta-z)}}{(\zeta-\omega)}+\int_{\partial \Delta}\frac{\frac{1}{2(\zeta-\omega)}}{(\zeta-z)}=2\pi i\frac{1}{2(\omega-z)}+2\pi i\frac{1}{2(z-\omega)}$
[/mm]
Ist das soweit richtig oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Vielen Dank für Deine Hilfe und viele Grüße
Gregor
> Hallo Gregor,
>
> das Cauchy-Integral rekonstruiert eine Komplexe Funktion
> über ihre Funktionswerte [mm]h(\zeta)[/mm] auf dem Rand [mm]\partial \Delta.[/mm]
> Bei dir ist h jedoch unbekannt. Für m=n=1 kannst du dein
> Integral durch PBZ direkt in ein Cauchy-Integral
> umschreiben und zwar in dem Du
>
> [mm]\frac{1}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\frac{a}{(\zeta-z)}+\frac{b}{(\zeta-\omega)}[/mm]
>
> anschreibst und die Koeffizienten a und b z.B. durch
> Hauptnennerbildung bestimmst. Da dein Integral linear in
> jedem Argument ist kannst Du Dein Integral auf beide
> Teilsummen verteilen und es steht schon das Cauchy-Integral
> da wobei die gesuchte Funktion [mm]h(\zeta)=a[/mm] bzw b ist.
>
> Für die m und n ungleich 1 musst du die Ableitungen des
> Cauchy-Integrals bemühen.
>
> Den Fall m=n muss man gesondert behandeln.
>
> VG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 10.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Gregor!
> Sei m=n=1. Dann gilt:
>
> [mm]\frac{1}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\frac{\frac{1}{2(\zeta-z)}}{(\zeta-\omega)}+\frac{\frac{1}{2(\zeta-\omega)}}{(\zeta-z)}[/mm]
Das ist zwar richtig, aber keine Partialbruchzerlegung bzgl. [mm] $\zeta$. [/mm] Die Zähler müssen Konstanten sein!
> Dann folgt mit der Linearität des Integrals und dem
> Cauchyschen Integralsatz für Kreisscheiben:
>
> [mm]\int_{\partial \Delta}\frac{d\zeta}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\int_{\partial \Delta}\frac{\frac{1}{2(\zeta-z)}}{(\zeta-\omega)}+\int_{\partial \Delta}\frac{\frac{1}{2(\zeta-\omega)}}{(\zeta-z)}=2\pi i\frac{1}{2(\omega-z)}+2\pi i\frac{1}{2(z-\omega)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Zähler sind innerhalb des Gebiet [mm] $\Delta$ [/mm] nicht holomorph.
Mach mal eine korrekte Partialbruchzerlegung, dann kannst du das Integral genauso zerlegen und ausrechnen!
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
es gibt mehrere Möglichkeiten a und b zu bestimmen. Die Brachialmethode, aber auch die Verständlichste wäre (wie schon ganz oben erwähnt):
1.) du bringst die rechte Seite erstmal auf den Hauptnenner damit du wieder einen Bruch bekommst und im Nenner dasselbe wie auf der linken Seite dastehen hast. (und läßt aber trotzdem a und b mal einfach drinstehen).
2.) du liesst die Bedingungen ab die a und b haben müssen damit der Zähler (jetzt rechts) wie auf der linken Seite aussieht (=1 ist). Das die Zerlegung so funktioniert hasst du mit der Methode gleich mitgezeigt.
Am besten du betrachtest jetzt erstmal nur den Fall [mm] \omega [/mm] ungleich z (den Fall kann man nachher mit dem m und n's in den Ableitungen abhandeln). Wie Rainer schon geschrieben hat sind hier a und b konstant über [mm] \zeta [/mm] ; sind aber trotzdem Funktionen von [mm] \omega [/mm] und z (Parameter). (Hinweis: Die Koeffizienten a,b sind damit gegenüber der Cauchyschen Formel konstant was schon viel verrät).
[mm] \frac{1}{(\zeta-\omega)(\zeta-z)}=\frac{a}{(\zeta-\omega)}+\frac{b}{(\zeta-z)}
[/mm]
VG Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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