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Cavalieri: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Di 20.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Berechne das Volumen der Einheitskugel [mm] K_{3}={x \in R^3; \parallel x \parallel \le 1} [/mm]

Hallo!
Ich habe nicht verstanden, wie ich das Prinzip von Cavalieri anwenden kann.
Hier die Version von meinem Prof:
Sei [mm] \omega \subset \IR^n [/mm] darstellbar durch [mm] \omega=((x_{*},t) \in \IR^{n-1}x\IR;x_{*} \in \omega_{t} [/mm] und a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b )
Wenn für jedes [mm] t\in[a,b] [/mm] das Volumen [mm] Vol_{\IR^{n-1}}(\omega_{t}) [/mm] existiert und t-> [mm] Vol_{\IR^{n-1}}(\omega_{t}) [/mm] stetig, dann gilt   [mm] Vol_{\IR^n}(\omega)=\integral_{a}^{b} {Vol_{\IR^{n-1}}(\omega_{t})dt} [/mm]
Man geht im Prinzip eine Dimension kleiner und berechnet da das Volumen? Oder kann mir jemand mit Worten erklären, was da gemacht wird?



So, nun zur Aufgabe:
Den ersten Schritt hab ich vorgegeben:
[mm] Vol_{\IR^3}(K_{3})=\integral_{-1}^{1}{Vol_{\IR^2}((x,y); x^2+y^2<1-z^2)dz} [/mm]
Ok, die Grenzen sind -1 und 1 wegen der Einheitskugel und sonst versteh ich es auch, jedoch wie soll ich dieses Volumen bestimmen?

Vielen Dank für die Hilfe

TheBozz-mismo

        
Bezug
Cavalieri: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Di 20.09.2011
Autor: leduart

Hallo
du schneidest die Kugel in Kreisscheiben der Dicke dz und radius r(z)
entweder musst du vorher ddie kreisfläche [mm] r^2*\pi [/mm] kennen oder auch wieder ausrechnen.
Kugelkoordinaten sind besser als kartesische, dann statt über z über [mm] \theta [/mm] von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2 [/mm]
gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Cavalieri: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:02 Fr 23.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Vielen Dank für deine Erklärung

Bezug
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