Char. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen aus dem Körper K.
Sei [mm] \phi [/mm] der Homomorphismus, gegeben durch B [mm] \mapsto [/mm] AB
Zeigen Sie, dass unter dem charakterisitschem Polynom von A und von [mm] \phi [/mm] die Beziehung
[mm] P_\phi=(P_a)^n [/mm] besteht.
Bestimme zuerst eine darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] |
Hi,
mein Probelm ist folgendes:
[mm] \phi [/mm] ist ja ein Homomorphismus, also lineare Abbildung vom Körper der nxn Matrizen in den Körper der nxn Matrizen.
Wenn ich in die Abbildung die MAtrix B reinstecke, dann bekomme ich als Ergebnis AB heraus.
Wenn ich das sonst bei "normalen" lin. Abbildungen vom [mm] K^n [/mm] in den [mm] K^m [/mm] z.B. mache, stecke ich ja einen Vektor rein, bekomme einen anderen heraus, und dazu gibt es dann eine Passende Matrix A. D.h. also:
[mm] \phi(\vec{x})=Ax.
[/mm]
Wenn ich das auf diese Abbildung [mm] \phi [/mm] übertrage, wäre meine darstellende Matrix dann doch die Matrix A.
Dann verstehe ich in diesem Zusammenhang aber nicht,w arum ich eine darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] zunächst bestimmen soll. Die ist mir doch dann schon durch A vorgegeben?
Gut, und [mm] P_A [/mm] wäre ja dann die Determinante der Matrix A-t1, wobei 1 die nxn Einheitsmatrix sei.
Wenn ich dann aber das char. Polyonom von [mm] \phi [/mm] brechnen soll, ist das nicht dann gleich dem von A?
Was soll ich mir dann unter dem char. Polynom von Phi vorstlelen? Das ist doch eg. das char. Polynom der darstellenden Matrix von [mm] \phi, [/mm] also dem von A?
Wo ist mein Denkfehler?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Do 24.01.2008 | | Autor: | blascowitz |
Guten tach.
Gibt es für B auch eine VOrschrift, weil ich sonst nicht weiß wie man die Darstellende Matrix von B ausrechnen sollen.
Schönen Tach
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
sorry, hatte den [mm] \mapsto [/mm] falsch geschrieben, deshalb sah man es nicht.
Habs jetzt korrigiert.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen aus dem Körper K.
> Sei [mm]\phi[/mm] der Homomorphismus, gegeben durch B [mm]\mapsto[/mm] AB
>
> Zeigen Sie, dass unter dem charakterisitschem Polynom von A
> und von [mm]\phi[/mm] die Beziehung
>
> [mm]P_\phi=(P_a)^n[/mm] besteht.
>
> Bestimme zuerst eine darstellende Matrix von [mm]\phi[/mm]
> Hi,
>
> mein Probelm ist folgendes:
>
> [mm]\phi[/mm] ist ja ein Homomorphismus, also lineare Abbildung vom
> Körper der nxn Matrizen in den Körper der nxn Matrizen.
> Wenn ich in die Abbildung die MAtrix B reinstecke, dann
> bekomme ich als Ergebnis AB heraus.
>
> Wenn ich das sonst bei "normalen" lin. Abbildungen vom [mm]K^n[/mm]
> in den [mm]K^m[/mm] z.B. mache, stecke ich ja einen Vektor rein,
> bekomme einen anderen heraus, und dazu gibt es dann eine
> Passende Matrix A. D.h. also:
> [mm]\phi(\vec{x})=Ax.[/mm]
>
> Wenn ich das auf diese Abbildung [mm]\phi[/mm] übertrage, wäre meine
> darstellende Matrix dann doch die Matrix A.
>
> Dann verstehe ich in diesem Zusammenhang aber nicht,w arum
> ich eine darstellende Matrix von [mm]\phi[/mm] zunächst bestimmen
> soll. Die ist mir doch dann schon durch A vorgegeben?
Ich denke, du sollst die [mm]n\times n[/mm]-Matrizen als [mm]n^2[/mm]-dimensionalen Vektorraum über K auffassen, und die Darstellungsmatrix dann als [mm]n^2\times n^2[/mm]-Matrix.
Um einen einfachen Fall zu nehmen: wäre A die [mm]n\times n[/mm]-Einheitsmatrix, dann wäre die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] die [mm]n^2\times n^2[/mm]-Einheitsmatrix. In diesem Fall wäre
[mm]P_A = (1-\lambda)^n[/mm]
und
[mm]P_\phi = (1-\lambda)^{n^2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Kroni!
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> >
> > Dann verstehe ich in diesem Zusammenhang aber nicht,w arum
> > ich eine darstellende Matrix von [mm]\phi[/mm] zunächst bestimmen
> > soll. Die ist mir doch dann schon durch A vorgegeben?
>
> Ich denke, du sollst die [mm]n\times n[/mm]-Matrizen als
> [mm]n^2[/mm]-dimensionalen Vektorraum über K auffassen, und die
> Darstellungsmatrix dann als [mm]n^2\times n^2[/mm]-Matrix.
Hi,
also indem ich dann die Matrix als einen Vektor schreibe? Also alle Spalten untereinander z.B?
>
> Um einen einfachen Fall zu nehmen: wäre A die [mm]n\times n[/mm]-Einheitsmatrix,
> dann wäre die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] die [mm]n^2\times n^2[/mm]-Einheitsmatrix.
> In diesem Fall wäre
>
> [mm]P_A = (1-\lambda)^n[/mm]
>
> und
>
> [mm]P_\phi = (1-\lambda)^{n^2}[/mm]
>
Okay, also nehme ich mir die nxn Matrizen her, setzte alle Spalten untereinander. Dann schreibe ich A auch noch so um, und konstruiere mir dann eine darstellende Matrix, die [mm] n^2xn^2 [/mm] ist. Und daraus soll dann die Matrix AB werden?
Wenn das mit dem untereinander hinschreiben passt, denke ich dann mal weiter.
LG
Kroni
> Viele Grüße
> Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> > Hallo Kroni!
> >
> > >
> > > Dann verstehe ich in diesem Zusammenhang aber nicht,w arum
> > > ich eine darstellende Matrix von [mm]\phi[/mm] zunächst bestimmen
> > > soll. Die ist mir doch dann schon durch A vorgegeben?
> >
> > Ich denke, du sollst die [mm]n\times n[/mm]-Matrizen als
> > [mm]n^2[/mm]-dimensionalen Vektorraum über K auffassen, und die
> > Darstellungsmatrix dann als [mm]n^2\times n^2[/mm]-Matrix.
>
> Hi,
>
> also indem ich dann die Matrix als einen Vektor schreibe?
> Also alle Spalten untereinander z.B?
Genau!
> >
> > Um einen einfachen Fall zu nehmen: wäre A die [mm]n\times n[/mm]-Einheitsmatrix,
> > dann wäre die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] die [mm]n^2\times n^2[/mm]-Einheitsmatrix.
> > In diesem Fall wäre
> >
> > [mm]P_A = (1-\lambda)^n[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]P_\phi = (1-\lambda)^{n^2}[/mm]
> >
>
> Okay, also nehme ich mir die nxn Matrizen her, setzte alle
> Spalten untereinander. Dann schreibe ich A auch noch so um,
> und konstruiere mir dann eine darstellende Matrix, die
> [mm]n^2xn^2[/mm] ist. Und daraus soll dann die Matrix AB werden?
Ich schreibs mal für n=2 aus. Die Matrix B als Vektor lautet
[mm] \mathbf{B} = \vektor{ b_{11} \\ b_{12} \\ b_{21} \\ b_{22} } [/mm]
Die Matrix AB als Vektor lautet
[mm] \mathbf{AB} = \vektor {a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} \\
a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \\
a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} } [/mm].
Jetzt suchst du eine [mm]4\times4[/mm]-Matrix C, so dass du das als Matrixgleichung schreiben kannst (für beliebige B, die Darstellungsmatrix darf ja nur von den [mm]a_{ij}[/mm] abhängen):
[mm] \mathbf{AB} = C * \mathbf{B} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay im Falle n=2 habe ich dann:
[mm] C=\pmat{a11 & 0 & a12 & 0 \\ 0 & a11 & 0 & a12 \\ a21 & 0 & a21 & 0 \\ 0 & a21 & 0 & a22}
[/mm]
Im Falle n=3 habe ich dann eine 9x9 Matrix, wo dann in der ersten Zeile sowas wie
a 0 b 0 c 0 0 0 0 in der zweiten Zeile dann sowas wie
0 a 0 b 0 c 0 0 0 dritte Zeile:
0 0 a 0 b 0 c 0 0
etc haben werde, wo also die Einträge durchrücken.
Gut, dann gilt also noch zu zeigen, dass das char. Polynom von der darstellenden Matrix gleich dem der Matrix A ^n ist.
Mal sehen wie ich das mache.
Danke für die Hilfe bis hierhin.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Hi,
>
> okay im Falle n=2 habe ich dann:
>
> [mm]C=\pmat{a11 & 0 & a12 & 0 \\ 0 & a11 & 0 & a12 \\ a21 & 0 & a21 & 0 \\ 0 & a21 & 0 & a22}[/mm]
>
> Im Falle n=3 habe ich dann eine 9x9 Matrix, wo dann in der
> ersten Zeile sowas wie
> a 0 b 0 c 0 0 0 0 in der zweiten Zeile dann sowas wie
> 0 a 0 b 0 c 0 0 0 dritte Zeile:
> 0 0 a 0 b 0 c 0 0
>
> etc haben werde, wo also die Einträge durchrücken.
>
> Gut, dann gilt also noch zu zeigen, dass das char. Polynom
> von der darstellenden Matrix gleich dem der Matrix A ^n
> ist.
>
> Mal sehen wie ich das mache.
Tipp: Die Darstellungsmatrix besteht aus lauter Blöcken der Größe [mm]n\times n[/mm], die alle die gleiche Form [mm]a_{ij} \mathbf{1}_{n\times n}[/mm] haben.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:36 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi, wenn ich das richtig sehe, dann ist die Determinante von der erweiterten Matrix C einmal alle Diagonalelemente miteinander multipliziert, dann noch irgendetwas anders.
Ich meine mich zu erinnern, dass man bei einer Diagonalmatrix einfach nur bei der Det-Brechnung die Diagonalelemnte multiplizieren muss. Wenn ich dann diese Matrix C die aus lauter nxn Matrizen besteht herausbekommen will, muss ich diese ja auf eine obere Dreiecksmatrix bringen, und dann die Determinante berechnen. D.h. wenn ich die einzelnen Matrixblöcke so hinbekomme, dass es eine obere Dreiecksmatrix bekommt, dann lässt sich die Determinante der großen Matrix C als Produkt der Determinanten der Diagonalenmatrizen berechnen, wobei diese Determinatnen dann auch wieder das Produkt aus den einzelnen Diagonaleinträgen sind....irgendwie so ging das doch.
Ist das soweit korrekt?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
Ich glaube, was du schreibst, ist korrekt, aber ich weiss nicht, ob es zum Ziel führt.
Mir fällt im Moment nichts dazu ein außer dass es einfach möglich sein müsste, die Matrizen auf eine Normalform zu bringen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 26.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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