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ich hab ein ganz lächerliches problem, wie mir scheint: ich krieg es einfach nicht hin, das charakteristische polynom zu berechnen. das ausrechnen der determinante stellt zwar keine schwierigkeit dar, doch ich schaffe es nicht, es später in linearfaktoren zu zerlegen. ist zwar nicht bei allen matrizen so, aber zb die folgende hat mir den letzten nerv geraubt:
A= ( 0 1 -1 )
2 1 0
4 -2 3
hab die lösung zwar nachgeschlagen, komme aber trotzdem selbst immer noch nicht drauf, es ist zum verzweifeln!
wäre dankbar, wenn mir jemand eine art allgemeine vorgehensweise zeigen könnte, um die linearfaktoren rauszukriegen.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Picard,
Ich habe das charakteristische Polynom ohne Schwierigkeiten ausrechnen können. Vielleicht hast du ja bloss einen Vorzeichenfehler in deiner Rechnung und kommst deshalb nicht weiter.
Du hast die Determinante von
A - t*E
bestimmt, wobei A deine Matrix ist und E die Einheitsmatrix (in manchen Skripten steht auch t*E - A, was dich aber nicht verwirren soll, denn die Lösungen unterscheiden sich ja nur im Vorzeichen).
Bei mir kommt nach Entwickeln nach der letzten Spalte und Aumultiplizieren
- [mm] t^3 [/mm] + [mm] 4t^2 [/mm] - 5t + 2
heraus.
Um solche Polynome zu faktorisieren, kannst du als mögliche Nullstellen mal die ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes (in deinem Fall 2) testen. Hier wären das +/- 1, +/- 2.
Das funktioniert, weil du bei normierten (oder mit Leitfaktor -1) Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten die Gleichung [mm] p(t_0) [/mm] = 0 so umformen kannst:
- Absolutglied auf die rechte Seite bringen
- in der linken Seite ein [mm] t_0 [/mm] ausklammern
Ist das [mm] t_0 [/mm] also eine ganzzahlige Nullstelle, wo muss sie ein Teiler des Absolutgliedes sein. Deshalb eignen sich die Teiler des Absolutgliedes als erste Kandidaten der möglichen Nullstellen.
Mit dem Verfahren solltest du schnell die zwei Nullstellen 1 und 2 herausfinden und dann kannst du mittels Polynomdivision oder Satz von Vieta ("das Produkt der Nullstellen ist (bis aufs Vorzeichen) das Absolutglied") die letzte Nullstelle herausfinden.
Ansonsten kann ich dir auch keine weiteren Tips zur Faktorisierung geben. ;)
Lieben Gruss,
Irrlicht
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danke für die schnelle antwort, hab mir das mit deinen tipps noch mal genauer angeschaut und es kommt mir jetzt sehr einfach vor. ;) werd noch ein paar andere CPs berechnen, dann wird das schon laufen am dienstag. nochmals danke.
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