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| Aufgabe | Sei [mm] f: W \to W [/mm] ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen K-Vektorraums W. Sei V = [mm] W^2 [/mm] und
[mm] g: V \to V, (w_1,w_2) \mapsto (f(w_2),w_1)) [/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm] X_g(t) [/mm] = [mm] X_f(t^2) [/mm] |
Wieder mal weiß ich nicht weiter.
Was ich weiß, ist:
[mm]X_g(t) = |tE - A| \in K[t] [/mm]
[mm]X_f(t^2) = |t^2E - B| \in K[t] [/mm]
Wobei A und B Matrizen sind und [mm] X_g(t), X_f(t^2) [/mm] die char. Polynome von den Matrizen sind.
Zudem ist:
[mm] X_g(t) [/mm] = [mm] t^n [/mm] + [mm] c_n_-_1t^{n-1} [/mm] + ... + [mm] c_0
[/mm]
Nur weiß ich nicht, was es mir bringt.
Hat jemand einen kleinen Tipp für mich?
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> Sei [mm]f: W \to W[/mm] ein Endomorphismus eines
> endlichdimensionalen K-Vektorraums W. Sei V = [mm]W^2[/mm] und
>
> [mm]g: V \to V, (w_1,w_2) \mapsto (f(w_2),w_1))[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]X_g(t)[/mm] = [mm]X_f(t^2)[/mm]
> Wieder mal weiß ich nicht weiter.
>
> Was ich weiß, ist:
>
> [mm]X_g(t) = |tE - A| \in K[t][/mm]
> [mm]X_f(t^2) = |t^2E - B| \in K[t][/mm]
>
> Wobei A und B Matrizen sind und [mm]X_g(t), X_f(t^2)[/mm] die char. Polynome von den Matrizen sind.
Hallo,
das sind nicht irgendwelche Matrizen, sondern die Darstellungsmatrizen der Abbildungen.
Wenn W endlichdimensional ist, hat W eine Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n)
[/mm]
Ich würde mir jetzt eine Basis von V überlegen,
die Darstellungsmatrizen aufschreiben,
ihr charakteristisches Polynom berechnen.
LG Angela
>
> Zudem ist:
>
> [mm]X_g(t)[/mm] = [mm]t^n[/mm] + [mm]c_n_-_1t^{n-1}[/mm] + ... + [mm]c_0[/mm]
>
> Nur weiß ich nicht, was es mir bringt.
>
> Hat jemand einen kleinen Tipp für mich?
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Hey,
danke für die Antwort.
Kann ich mir irgendeine Basis auspicken oder muss das schon allgemein sein?
Wenn ich eine Basis auswählen dürfte, dann würde ich die Einheitsvektoren nehmen und dann die Darstellungsmatrix aufstellen.
Dann hätte ich für [mm] X_f(t^2) [/mm] folgendes:
[mm] X_f(t^2) [/mm] = [mm] (t^2 [/mm] - [mm] 1)^n
[/mm]
Darf ich das?
(Und für die Abb. g stehe ich immernoch auf dem Schlauch, da ich nicht weiß, wie man da die Basen bestimmt...)
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> Hey,
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> danke für die Antwort.
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> Kann ich mir irgendeine Basis auspicken oder muss das schon
> allgemein sein?
Hallo,
Du hast einen VR W, der endlichdimensional ist.
Was meinst Du mit "Basis herauspicken"?
>
> Wenn ich eine Basis auswählen dürfte, dann würde ich die
> Einheitsvektoren nehmen
Was meinst Du hier mit "die Einheitsvektoren"?
Daß W nicht zwingend eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist, ist Dir klar?
Du weißt halt, daß es ein Vektorraum endlicher Dimension ist.
Das garantiert Dir die Existenz einer Basis [mm] B:=(b_1,..., b_n).
[/mm]
Die nimmst Du. Fertig.
> und dann die Darstellungsmatrix
> aufstellen.
Wie stellt man eigentlich die Darstellungsmatrix einer Abbildung bzgl. einer vorgegebenen Basis auf?
(Daß diese hier sehr allgemein gehalten sein muß, versteht sich ja von selbst, denn wir wissen ja nichts Näheres über f.)
>
> Dann hätte ich für [mm]X_f(t^2)[/mm] folgendes:
>
> [mm]X_f(t^2)[/mm] = [mm](t^2[/mm] - [mm]1)^n[/mm]
>
> Darf ich das?
>
> (Und für die Abb. g stehe ich immernoch auf dem Schlauch,
> da ich nicht weiß, wie man da die Basen bestimmt...)
Ich würde mir an Deiner Stelle vor der Bearbeitung der allgemeinen Aufgabe mal ein Beispiel machen.
Nimm z.B. für W den VR der Polynome vom Höchstgrad 2.
Basis?
Was ist dann V?
Basis?
Sei [mm] f:W\to [/mm] W mit [mm] f(ax^2+bx+c):=(a+c)x^2-a.
[/mm]
Darstellungsmatrix von f bzgl der oben genannten Basis?
Darstellungsmatrix von g bzgl der oben genannten Basis?
LG Angela
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Oh mann, dankeschön!
Manchmal brauche ich so einen Schubs in die richtige Richtung!
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