Characterization of integers < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | A positive integer n can be written in the form [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{2} [/mm] where x and y are integers, if and only if the multiplicity in the prime factorization of n of every prime p [mm] \equiv [/mm] 5 or 7 (mod 8) is even.
Carry out a similar analysis and obtain a characterization of the positive integers n of the form [mm] x^{2} +3y^{2} [/mm] .
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Hallo zusammen
Ich habe den ersten Teil der Aufgabe [mm] (x^{2}+2y^{2}) [/mm] versucht zu lösen und bin zwar nicht ganz fertig geworden, ich werde die Frage bei Gelegenheit noch hier reinstellen.
Nun sollte ich die Zahlen > 0 der Form [mm] x^{2}+3y^{2} [/mm] charakterisieren. Das Problem ist, dass ich keine Ahnung habe, wie ich hier vorgehen kann..
Ich habe ein bisschen recherchiert und bin natürlich auf Gauss und Fermat gestossen, doch ich kann überall nur die Charakterisierung von PRIMzahlen der Form [mm] x^{2}+ny^{2} [/mm] finden, jedoch nicht für allgemeine positive Zahlen. (Ich verstehe beispielsweise nicht wie man im ersten Teil auf (mod 8) kommt.. warum gerade 8?).
Zum Beispiel gibt es für Primzahlen eine Darstellung der Form p = [mm] x^{2}+2y^{2}, [/mm] nur wenn p [mm] \equiv [/mm] 1 oder 3 (mod 8), aber für eine beliebige positive Zahl dieser gleichen Form soll gelten n [mm] \equiv [/mm] 5 oder 7 (mod 8).. hä??
Falls jemand einen Tipp hätte, einen Link oder überhaupt einen Ansatz, wäre ich sehr froh darüber :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Arralune |
Lies die Bedingung noch einmal genauer. Da steht, was für Primfaktoren gelten muss, die die Bedingung, die du angegeben hast nicht haben. Diese sollen immer im Quadrat vorkommen. Primfaktoren die kongruent 1 oder 3 sind, haben keine Spezialbedingung.
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Hallo
> Lies die Bedingung noch einmal genauer. Da steht, was für
> Primfaktoren gelten muss, die die Bedingung, die du
> angegeben hast nicht haben. Diese sollen immer im Quadrat
> vorkommen. Primfaktoren die kongruent 1 oder 3 sind, haben
> keine Spezialbedingung.
Jops, sehe ich ein.. ich habe Unsinn geschrieben.
Aber jetzt trotzdem.. wie komme ich auf die Spezialbedingung für die Primfaktoren der positiven Zahlen, die sich als [mm] x^{2}+3y^{2} [/mm] schreiben lassen?
Für [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] müssen ja die Potenzen der Primfaktoren [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4) gerade sein.
Für [mm] x^{2}+2y^{2} [/mm] müssen die Potenzen der Primfaktoren [mm] \equiv [/mm] 5 oder 7 (mod 8) gerade sein.
Soll ich (nach Abakus's Tipp mit der Unmöglichkeit :) ) wieder (mod 8) arbeiten und versuchen, auf ein Ergebnis zu kommen, oder gibt es hier einen tieferen Zusammenhang, den ich jetzt schon sehen sollte?
Danke für die Hilfe!
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 So 11.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> A positive integer n can be written in the form [mm]x^{2}[/mm] +
> [mm]2y^{2}[/mm] where x and y are integers, if and only if the
> multiplicity in the prime factorization of n of every prime
> p [mm]\equiv[/mm] 5 or 7 (mod 8) is even.
>
> Carry out a similar analysis and obtain a characterization
> of the positive integers n of the form [mm]x^{2} +3y^{2}[/mm] .
>
>
> Hallo zusammen
>
> Ich habe den ersten Teil der Aufgabe [mm](x^{2}+2y^{2})[/mm]
> versucht zu lösen und bin zwar nicht ganz fertig geworden,
> ich werde die Frage bei Gelegenheit noch hier reinstellen.
>
> Nun sollte ich die Zahlen > 0 der Form [mm]x^{2}+3y^{2}[/mm]
> charakterisieren. Das Problem ist, dass ich keine Ahnung
> habe, wie ich hier vorgehen kann..
> Ich habe ein bisschen recherchiert und bin natürlich auf
> Gauss und Fermat gestossen, doch ich kann überall nur die
> Charakterisierung von PRIMzahlen der Form [mm]x^{2}+ny^{2}[/mm]
> finden, jedoch nicht für allgemeine positive Zahlen. (Ich
> verstehe beispielsweise nicht wie man im ersten Teil auf
> (mod 8) kommt.. warum gerade 8?).
Hallo,
Quadratzahlen lassen nur sehr wenige Reste mod 8 (und ungerade Quadratzahlen nur einen einzigen).
Deshalb die die Restbetrachtung mod 8 ein beliebtes Beweismittel bei Unmöglichkeitsbeweisen in der Zahlentheorie.
Gruß Abakus
>
> Zum Beispiel gibt es für Primzahlen eine Darstellung der
> Form p = [mm]x^{2}+2y^{2},[/mm] nur wenn p [mm]\equiv[/mm] 1 oder 3 (mod 8),
> aber für eine beliebige positive Zahl dieser gleichen Form
> soll gelten n [mm]\equiv[/mm] 5 oder 7 (mod 8).. hä??
>
> Falls jemand einen Tipp hätte, einen Link oder überhaupt
> einen Ansatz, wäre ich sehr froh darüber :)
>
> Grüsse, Amaro
>
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