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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:31 Di 09.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper. Zeige:
a) char K = p ist endlich und es gilt |K| = [mm] p^{[K: \IZ \ (p)]}.
[/mm]
b) Die Abb. x [mm] \mapsto x^{p} [/mm] ist ein [mm] \IZ [/mm] \ (p) - Automorphismus von K. |
Hallo Forum,
ich hoffe, ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen. Ich sitz grad vor dieser Aufgabe, und weiß leider überhaupt nicht, wie ich an sie herangehen soll.
Bei der a) ist mit char K die Charakteristik von K gemeint oder? Aber was sagt mir eigentlich die Charakteristik aus? Ich hab das nicht so ganz verstanden.
In meinem Skript steht, dass [mm] \IQ, \IR, \IC [/mm] Charakteristik 0 Körper sind, Aber was heißt das?
Ich weiß, dass für alle Körper die Charakteristik 0 oder p, p Primzahl ist.
Bei der b) ist das doch eine Abb. von K \ to K, wobei K die Körpererweiterung von [mm] \IZ [/mm] \ (p) ist oder? Muss ich hier dann zeigen, dass die Abb. ein Homomorphismus ist und bijektiv?
Ich hoffe, dass mir jemand etwas helfen könnte, damit ich wenigstens eine Idee habe, wie ich das zu lösen habe.
Vielen Dank schonmal,
Moe
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:15 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mal ein bisschen bei wikipedia rumgesucht und mich über die Definition von Charakteristik schlau gemacht. Ich hab nun auch versucht, die Aufgabe so weit ich konnte, zu lösen, weiß aber nicht, ob das so stimmt. Ich hoffe, dass sich jemand die Zeit nimmt und mal schauen kann, ob da was falsch ist und es mir dann mitteilt. Danke!!!
(i) K ist nach Vor. ein Körper, also insbesondere ein Integritätsring.
Dann kann die Char(K) = 0 oder p, p [mm] \in \IZ [/mm] Primzahl, sein.
Annahme: Char(K) = 0, d.h. 1+....+1 [mm] \not= [/mm] 0
D.h. doch wiederrum, dass alle Elemente 1, 1+1, 1+1+1, .... paarweise versch. sind.
Denn angenommen [mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal} [/mm] = [mm] \underbrace{1+...+1}_{m-mal} [/mm] mit n > m. O.E. sei n = m +k, k [mm] \not= [/mm] 0
Dann folgt: [mm] \underbrace{1+...+1}_{k-mal} [/mm] = 0, d.h. Char(K) = k [mm] \not= [/mm] 0
und |K| = [mm] \infty. [/mm] Ein Widerspruch zur Vor. K ein endlicher Körper.
Also muss Char(K) = p sein. Und da p Primzahl ist, ist es endlich. Stimmt das so?
Dann ist noch zu zeigen, dass |K| = [mm] p^{[K: \IZ \ (p)]} [/mm] ist.
Es gilt doch [mm] dim_{\IZ / (p) } [/mm] (K) = [K : [mm] \IZ [/mm] \ (p)] := n [mm] \ge [/mm] 1
D.h. die [mm] \IZ [/mm] \ (p) - Basis hat die Länge n. In [mm] \IZ [/mm] / (p) gibt es p Elemente, d.h. vor jedem Basiselement habe ich p mögliche Koeffizienten. D.h. doch dass |K| = [mm] p^{n}.
[/mm]
Stimmt die Begründung so?
(ii) Z.Z: x [mm] \mapsto x^{p} [/mm] ist ein [mm] \IZ [/mm] / (p) - Automorphismus von K
Sei [mm] \phi: [/mm] K [mm] \to [/mm] K, x [mm] \mapsto x^{p}.
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist ein Ringhomomorphismus.
Denn: [mm] \phi(1) [/mm] = [mm] 1^{p} [/mm] = 1
[mm] \phi(xy) [/mm] = [mm] (xy)^{p} [/mm] = [mm] x^{p} y^{p} [/mm] = [mm] \phi(x) \phi(y)
[/mm]
[mm] \phi(x+y) [/mm] = [mm] (x+y)^{p} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{p} \vektor{p \\ i} x^{i} y^{p-1} [/mm] = [mm] x^{p} [/mm] + [mm] y^{p} [/mm] = [mm] \phi(x) [/mm] + [mm] \phi(y) [/mm]
Nun muss man doch noch zeigen, dass [mm] \phi [/mm] bijektiv ist oder?
Injektivität folgt aus ker [mm] \phi [/mm] = {x [mm] \in [/mm] K | [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] x^{p} [/mm] = 0} = {0}
Und Surjektivität wegen Definition.
Also ist [mm] \phi [/mm] ein [mm] \IZ [/mm] / (p) -Automorphismus über K.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen und mich verbessern, wenn was falsch ist.
Danke schonmal!
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 16.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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