Charakteristik eines Rings < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 So 30.05.2010 | | Autor: | gollum13 |
| Aufgabe | Geben sie die Charakteristik des folgenden Ringes an:
[mm] \IZ [/mm]/4[mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm]/3[mm] \IZ [/mm]
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Hallo,
wir haben die Charakteristik eines Rings mit 1 definiert als kleinste natürliche Zahl n mit n 1 = 0. Für [mm] \IZ [/mm]/4[mm] \IZ [/mm] wäre das also einfach 4. Beim Kreuzprodukt würde ich nun vermuten, dass es einfach das kgV der beiden Dinger ist. In dem Fall 12. Was meint ihr?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey
> Geben sie die Charakteristik des folgenden Ringes an:
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> [mm]\IZ [/mm]/4[mm] \IZ[/mm] x [mm]\IZ [/mm]/3[mm] \IZ[/mm]
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> Hallo,
> wir haben die Charakteristik eines Rings mit 1 definiert
> als kleinste natürliche Zahl n mit n 1 = 0. Für [mm]\IZ [/mm]/4[mm] \IZ[/mm]
> wäre das also einfach 4. Beim Kreuzprodukt würde ich nun
> vermuten, dass es einfach das kgV der beiden Dinger ist. In
> dem Fall 12. Was meint ihr?
Beachte, dass ggT(3,4) = 1. Somit ist das ganze isomorph zu...?
So solltest du eine Argumentation finden, um dein Ergebnis zu verifizieren :)
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> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 30.05.2010 | | Autor: | gollum13 |
Ja, das ist isomorph zu [mm] \IZ [/mm]/12[mm] \IZ [/mm]. Aber mir war nicht klar, dass die Charakteristik dabei erhalten bleibt. Klingt aber vernünftig.
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Hey
> Ja, das ist isomorph zu [mm]\IZ [/mm]/12[mm] \IZ [/mm]. Aber mir war nicht
> klar, dass die Charakteristik dabei erhalten bleibt. Klingt
> aber vernünftig.
Na das gilt einfach hier nach dem Chinesischen Restsatz, weil ggT(3,4) = 1.
Für n,m [mm] \in \IN_{>0} [/mm] mit ggT(m,n) = d > 1 gilt im Allgemeinen [mm] \IZ/n\IZ \times \IZ/m\IZ \not\cong \IZ/mn\IZ
[/mm]
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 30.05.2010 | | Autor: | gollum13 |
Aber ich kann doch jede zyklische (und damit abelsche) Gruppe als direktes Produkt zyklischer Untergruppen darstellen...
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Hallo
> Aber ich kann doch jede zyklische (und damit abelsche)
> Gruppe als direktes Produkt zyklischer Untergruppen
> darstellen...
Ja, das ist so. Aber das ist die Rückrichtung. Falls du eine zyklische Gruppe [mm] \IZ/n\IZ [/mm] gegeben hast, so gilt [mm] \IZ/n\IZ \cong \IZ/p_{1}^{e_{1}}\IZ\times...\times\IZ/p_{r}^{e_{r}}\IZ, [/mm] wobei n = [mm] \prod\limits_{i=1}^{r}{p_{i}^{e_{i}}} [/mm] die Primfaktorzerlegung von n ist.
Aber umgekehrt gilt die Bijektivität nur, wenn das Direkte Produkt zwischen zyklischen Gruppen mit teilerfremden Ordnungen gebildet wird.
Beispielsweise gilt [mm] \IZ/3\IZ\times\IZ/4\IZ \cong \IZ/12\IZ, [/mm] aber auf der anderen Seite ist beispielsweise [mm] \IZ/3\IZ\times\IZ/6\IZ \not\cong \IZ/18\IZ
[/mm]
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 31.05.2010 | | Autor: | gollum13 |
Ok, und [mm] \IZ/3^2\IZ\times\IZ/2\IZ \cong \IZ/18\IZ [/mm] , aber [mm] \IZ/3\IZ\times\IZ/3\IZ \not\cong \IZ/9\IZ [/mm]
besten Dank übrigens...
Edit: Die 'zyklizität' bleibt unter dem Kreuzprodukt i.A. auch nicht erhalten oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mo 31.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, und [mm]\IZ/3^2\IZ\times\IZ/2\IZ \cong \IZ/18\IZ[/mm] , aber
> [mm]\IZ/3\IZ\times\IZ/3\IZ \not\cong \IZ/9\IZ[/mm]
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> besten Dank übrigens...
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> Edit: Die 'zyklizität' bleibt unter dem Kreuzprodukt i.A.
> auch nicht erhalten oder?
Nein, das tut sie nicht. Es gibt da z.B. eine schoene Uebungsaufgabe aus der Algebra:
"Seien $n, m$ zwei natuerliche Zahlen. Genau dann ist [mm] $\IZ/n\IZ \times \IZ/m\IZ$ [/mm] zyklisch, wenn $n$ und $m$ teilerfremd sind."
LG Felix
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