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Forum "Uni-Stochastik" - Charakteristische Funktion
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Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Di 23.08.2016
Autor: Peter_123

Hallo,


man kennt ja die charakteristische Funktion einer normalverteilten ZV X - wie könnte man denn die charakteristische Funktion von [mm] $X^2$ [/mm] bestimmen? - leider hab ich keinen Ansatz.

Ich habe diese Frage auch auf :

http://matheplanet.com/

gestellt.


Herzlichen Dank für Vorschläge

Lg

Peter

        
Bezug
Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Di 23.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> man kennt ja die charakteristische Funktion einer
> normalverteilten ZV X - wie könnte man denn die
> charakteristische Funktion von [mm]X^2[/mm] bestimmen? - leider hab
> ich keinen Ansatz.

so ist das eben, wenn man Dinge nur "kennt".
Daher die Frage: Wie bestimmt man denn die charakteristische Funktion einer normalverteilten ZV X, wenn man sie nicht "kennt"?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Di 23.08.2016
Autor: Peter_123

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Gono,

Naja mittels $\varphi_{X}(t) = \int_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)exp(itx)dx$

die Dichte von X^2 , wobei $X \sim N(\mu , \sigma^2)$ lautet $f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2 $

würde uns dann also zu

$  \int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} exp(itx)dx$

führen.


aber lässt sich das Ding denn ausrechnen ?


Lg und Dank

Peter

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Bezug
Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Di 23.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo Gono,
>  
> Naja mittels [mm]\varphi_{X}(t) = \int_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)exp(itx)dx[/mm]

Aha!

> die Dichte von [mm]X^2[/mm] , wobei [mm]X \sim N(\mu , \sigma^2)[/mm] lautet
> [mm]f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2[/mm]

Habe ich nicht nachgerechet, ob das stimmt…

> würde uns dann also zu
>  
> [mm]\int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} exp(itx)dx[/mm]

Oder alternativ:

[mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{-itx^2} f_X(x) [/mm] dx$

> aber lässt sich das Ding denn ausrechnen ?

also meine Darstellung schon :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Mi 24.08.2016
Autor: Peter_123


> Hiho,
>  
> > Hallo Gono,
>  >  
> > Naja mittels [mm]\varphi_{X}(t) = \int_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)exp(itx)dx[/mm]
>  
> Aha!
>  
> > die Dichte von [mm]X^2[/mm] , wobei [mm]X \sim N(\mu , \sigma^2)[/mm] lautet
> > [mm]f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2[/mm]
>  
> Habe ich nicht nachgerechet, ob das stimmt…
>  
> > würde uns dann also zu
>  >  
> > [mm]\int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} exp(itx)dx[/mm]
>  
> Oder alternativ:
>  
> [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-itx^2} f_X(x) dx[/mm]
>  
> > aber lässt sich das Ding denn ausrechnen ?
>
> also meine Darstellung schon :-)

Das ist also der Weg über [mm] $\mathbb{E}[e^{itX^2}]$ [/mm] ?

Ja stimmt, da krieg ich dann : [mm] $\varphi_{X^2}(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-2 i \sigma^2 t}} e^{\frac{ i t \mu^2}{1- 2 i \sigma^2 t}}$ [/mm] raus.

Aber nun geht's weiter -- habe ich nun [mm] $X_{1},....,X_{n}$ [/mm] die nach [mm] $N(\mu_{1} [/mm] , [mm] \sigma_{1}^2),....,N(\mu_{n},\sigma_{n}^2)$ [/mm] verteilt sind.

und ich möchte die charakteristische Funktion von [mm] $\varphi_{X_{1}^2 +,....,+X_{n}^2}(t)$ [/mm] berechnen -- wenn wir voraussetzen, dass diese ZV unabhängig sind , so läuft das ja über die das Produkt [mm] $\varphi_{X_{1}^2} \cdot [/mm] ..... [mm] \cdot \varphi_{X_{n}^2}$ [/mm] der char. Funktionen -- ich frage mich,ob sich das in vernünftiger Weise darstellen lässt?


>  
> Gruß,
>  Gono


Lg Peter


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Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mi 24.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Das ist also der Weg über [mm]\mathbb{E}[e^{itX^2}][/mm] ?

korrekt, also simpel über die Definition.
  

> Ja stimmt, da krieg ich dann : [mm]\varphi_{X^2}(t) = \frac{1}{\sqrt{1-2 i \sigma^2 t}} e^{\frac{ i t \mu^2}{1- 2 i \sigma^2 t}}[/mm]
> raus.

Kommt hin, habe das nur für die Standardnormalverteilung durchgerechnet.

> Aber nun geht's weiter -- habe ich nun [mm]X_{1},....,X_{n}[/mm] die
> nach [mm]N(\mu_{1} , \sigma_{1}^2),....,N(\mu_{n},\sigma_{n}^2)[/mm] verteilt sind.
>  
> und ich möchte die charakteristische Funktion von
> [mm]\varphi_{X_{1}^2 +,....,+X_{n}^2}(t)[/mm] berechnen -- wenn wir
> voraussetzen, dass diese ZV unabhängig sind , so läuft
> das ja über die das Produkt [mm]\varphi_{X_{1}^2} \cdot ..... \cdot \varphi_{X_{n}^2}[/mm] der char. Funktionen

[ok]

> -- ich frage mich,ob sich das in
> vernünftiger Weise darstellen lässt?

Was ist denn an [mm] $\produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}$ [/mm] so unvernünftig?

Gruß,
Gono

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Charakteristische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Mi 24.08.2016
Autor: Peter_123

Da hast du natürlich vollkommen recht :)


Danke

Lg Peter

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Bezug
Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:37 Do 25.08.2016
Autor: Peter_123

Hallo Gono,


eine Sache wäre da noch - wenn ich nun die Dichtefunktion von

[mm] $\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ [/mm] ,wobei [mm] $X_{k} \sim N(\mu_{k} [/mm] , [mm] \sigma_{k}^2)$ [/mm]

bestimmen möchte - dann funktioniert das ja mittels Inversion - also

[mm] $f_{X_{1}^2+,...,+X_{n}^2}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} e^{-itx} \produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}dx [/mm] $

das sieht jetzt aber schön ein wenig unpraktikabel aus - komme ich um die Numerik noch rum ? :)


Lg Peter

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Bezug
Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Fr 26.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> eine Sache wäre da noch - wenn ich nun die Dichtefunktion

moment moment! Reden wir von Dichte-Funktionen oder charakteristischen Funktionen??

> von [mm]\sum_{k=1}^{n}X_{k}[/mm] ,wobei [mm]X_{k} \sim N(\mu_{k} , \sigma_{k}^2)[/mm]
>
> bestimmen möchte - dann funktioniert das ja mittels Inversion

nee, das funktioniert am Besten, indem man weiß, dass die [mm] X_k [/mm] unabhängig und die Summe unabhängiger normalverteilter ZV wieder normalverteilt zu den Parametern Summe EW, Summe Varianz ist.

Also: Willst du Dichte oder charakteristische Funktionen bestimmen?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 So 28.08.2016
Autor: Peter_123

Hallo Gono,


ich meine natürlich

[mm] $\sum_{k=1}^{n}X_{k}^2$ [/mm]

diese Summe sollte verallgemeinert chi-Quadrat verteilt sein.


Lg PEter

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Bezug
Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Mo 29.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sofern die [mm] X_k [/mm] unabhängig sind, ist sie das auch.
Die Frage ist nun, wie du das zeigen willst. Über die Dichte, oder die charakteristische Funktion.

Für einen Weg musst du dich schon entscheiden…

Gruß,
Gono

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Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mo 29.08.2016
Autor: Peter_123

Hallo Gono,


ich möchte aus der charakteristischen Funktion die Dichte bestimmen.

und das sollte doch mittels

$ [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} e^{-itx} \produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}dx [/mm] $

funktionieren?

da ja

[mm] $\produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}}e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}} [/mm] $

die char. Fkt. ist.

oder?



Lg Peter

Bezug
                                                                                        
Bezug
Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mo 29.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo Gono,
>  
>
> ich möchte aus der charakteristischen Funktion die Dichte
> bestimmen.
>  
> und das sollte doch mittels
>  
> [mm]\frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} e^{-itx} \produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}dx[/mm]
>
> funktionieren?

ja, aber warum so kompliziert?
Berechne doch erst die Dichte von [mm] $X_k^2$ [/mm] und dann ist die Dichte von [mm] $\summe_{k=1}^n X_k^2$ [/mm] wegen der Unabhängigkeit eben einfach das Produkt der Einzeldichten.

Gruß,
Gono

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Bezug
Charakteristische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 Mo 29.08.2016
Autor: Peter_123

Da hast du recht.


Das mache ich gleich mal.


Lg Peter

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Bezug
Charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:23 Di 06.09.2016
Autor: Peter_123

Hallo,

wie würde die Sache eigentlich aussehen, wenn wir eine mehrdimensionale Normalverteilung hätten?


Lg Peter

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Di 06.09.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was soll denn [mm] $X^2$ [/mm] sein, wenn X mehrdimensional normalverteilt ist?

Gruß,
Gono

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Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:23 Di 06.09.2016
Autor: DesterX

Hallo Gonozal,

mir leuchtet nicht ein, warum hier klar sein soll, dass die Dichte der Verteilung von
[mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$ [/mm]
durch das Produkt der einzelnen Dichten dargestellt werden kann. Das trifft allenfalls für die Vektorverteilung
[mm] $(X_1^2, \ldots, X_n^2)$ [/mm]
zu. Zur Bestimmung der Dichten der Verteilung von
[mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$ [/mm]
muss wohl die Faltung bemüht werden. Letztlich stellt sich heraus, dass sich die Freiheitsgrade addieren (jedenfalls im Fall N(0,1)-verteilter Zufallsvariablen [mm] $X_i$). [/mm]

Grüße,
Dester

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:50 Di 06.09.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

stell doch bitte das nächste Mal eine Frage auch als solche :-)

> mir leuchtet nicht ein, warum hier klar sein soll, dass die
> Dichte der Verteilung von [mm]\sum_{i=1}^n X_i^2[/mm]
> durch das Produkt der einzelnen Dichten dargestellt werden kann. [...]
> Zur Bestimmung der Dichten der Verteilung von
>  [mm]\sum_{i=1}^n X_i^2[/mm] muss wohl die Faltung bemüht werden.

und wie sieht die Faltung aus für unabhängige Zufallsvariablen?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 14:12 Di 06.09.2016
Autor: DesterX

Hallo.
Ok, sorry. Ich wollte das in der Tat nicht als Frage formulieren.
Um es deutlicher auszudrücken:
Die Dichte, die sich als Faltung zweier Verteilung mit Dichten ergibt, ist NICHT das Produkt der Dichten.
Die Dichte der Verteilung von [mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$ [/mm]
ergibt sich hier als das Faltungsprodukt(!) der Dichten [mm] $f_{X_i}$. [/mm] Dieses stimmt höchstens zufällig mit dem Produkt der einzelnen Dichten überein. Um hier die Faltungsformel anwenden zu dürfen, braucht mandie Unabhängigkeit der [mm] $X_i$. [/mm]
Eventuell verwechselst du das hier mit den charakteristischen Funktionen. Hier wird zur Bestimmung das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen gebildet - auf die Dichten selber trifft das jedoch nicht zu.
Grüße
Dester


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 14:32 Di 06.09.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

edit: später ausführlicher.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 14:48 Di 06.09.2016
Autor: DesterX

Du bist aber heute eine harte Nuss. :-)
Du schreibst:

"Seien $ [mm] X_1,\ldots X_n [/mm] $ ZV mit Verteilungsdichten $ [mm] f_i [/mm] $ und f die gemeinsame Verteilungsdichte, so sind die $ [mm] X_i [/mm] $ unabhängig, genau dann, wenn $ f(x) = [mm] \produkt_{i=1}^n f_i(x_i) [/mm] $"

Die Aussage stimmt natürlich, aber der Fragensteller interessiert sich nicht für die Verteilung des Vektors [mm] $(X_1^2,\ldots,X_n^2)$, [/mm] sondern für die Verteilung bzw. die Dichte der Veteilung der Summe [mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$. [/mm] (siehe oben!)

Und dazu schreibst du:
"Berechne doch erst die Dichte von $ [mm] X_k^2 [/mm] $ und dann ist die Dichte von $ [mm] \summe_{k=1}^n X_k^2 [/mm] $ wegen der Unabhängigkeit eben einfach das Produkt der Einzeldichten. "

Das funktioniert so aber nicht und ist falsch.
Grüße,
Dester




Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 14:53 Di 06.09.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Aussage stimmt natürlich, aber der Fragensteller
> interessiert sich nicht für die Verteilung des Vektors
> [mm](X_1^2,\ldots,X_n^2)[/mm], sondern für die Verteilung bzw. die
> Dichte der Veteilung der Summe [mm]\sum_{i=1}^n X_i^2[/mm]. (siehe
> oben!)

das hab ich auch eben bemerkt und darum hatte ich meinen Beitrag schon editiert.
Verzeihung für die Aufregung, du hast natürlich recht.

Gruß,
Gono


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Charakteristische Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 18:12 Di 06.09.2016
Autor: DesterX

Passiert [ok]

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