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| Aufgabe | Es seien X und Y unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Zeigen Sie mit Hilfe der charakteristischen Funktionen:
Stimmt die Verteilung der Zufallsvariablen $(X +Y [mm] )/\sqrt{2}$ [/mm] mit der von X
und Y überein, dann sind X und Y normal verteilt
Hinweis: Aus den Voraussetzungen erhält man für die charakteristische Funktion eine Gleichung der Form [mm] $\phi(t) [/mm] = [mm] [\phi(?)]^2$. [/mm] Betrachten Sie Iterationen dieser Gleichung zusammen mit der Taylorentwicklung von [mm] $\phi$. [/mm] Sie dürfen benutzen, dass die Charakteristische Funktion der Standard Normalverteilung durch [mm] $exp(-t^2/2)$ [/mm] gegeben ist.
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Ich komme hier nicht weiter. Ich habe immerhin herausgefunden, dass
[mm] $\phi(t)=[\phi(t/\sqrt{2})]^2$.
[/mm]
Dann habe ich das immer wieder abgelitten, doch die Terme werden dann immer länger und ich erkenne auch keinen allgemeinen Ausdruck. Sonst wäre es kein Problem, weil man dann 0 einsetzen könnte: So erhält man bestimmungsgleichungen für die [mm] $\phi^{(k)}$.
[/mm]
Auch klar ist, dass
[mm] $\phi(t)=[\phi(t/(\sqrt{2})^{k})]^{2^k}$, [/mm] k=1,2,3,...
Und was kann ich damit jetzt anfangen??? Klar ist mir, dass man noch die Voraussetzungen E(X)=0 und [mm] V(X)=E(X^2)=1 [/mm] einbringen muss.
E(X)=0 wird dafür sogen, dass [mm] $\varphi^{(k)}(0)=0$ [/mm] für ungerades k ist.
Vielleicht hat jemand von euch eine Idee, wie man die Iteration und die Taylorentwicklung zusammenbringt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 06.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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