Charakteristisches Poly. von f < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie den von [mm] f_1: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1, [mm] f_2: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] sin(x), [mm] f_3: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] cos(x) erzeugten Untervektorraum V von [mm] \IR^\IR. [/mm] Es bezeichne [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \mapsto [/mm] V, f [mm] \mapsto [/mm] f' die Ableitung.
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom [mm] \chi_\varphi [/mm] und das Minimalpolynom [mm] \mu_\varphi [/mm] von [mm] \varphi. [/mm] |
Nun ja... Um an eine Abbildungsmatrix zukommen muss ich normalerweise die Vektoren der Basis einsetzen und schauen was raus kommt, das anordnen. Sagen wir ich setz das erste [mm] f_1 [/mm] ein. Die Ableitung ist 0. Was kommt in die Abb.Matrix?
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Hallo Dr. Network,
> Betrachten Sie den von [mm]f_1:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] 1, [mm]f_2:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> sin(x), [mm]f_3:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] cos(x) erzeugten Untervektorraum V
> von [mm]\IR^\IR.[/mm] Es bezeichne [mm]\varphi:[/mm] V [mm]\mapsto[/mm] V, f [mm]\mapsto[/mm]
> f' die Ableitung.
>
> a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom [mm]\chi_\varphi[/mm]
> und das Minimalpolynom [mm]\my_\varphi[/mm] von [mm]\varphi.[/mm]
> Nun ja... Um an eine Abbildungsmatrix zukommen muss ich
> normalerweise die Vektoren der Basis einsetzen und schauen
> was raus kommt, das anordnen. Sagen wir ich setz das erste
> [mm]f_1[/mm] ein. Die Ableitung ist 0. Was kommt in die Abb.Matrix?
Jo, es ist [mm]\varphi(f_1)=0=\red{0}\cdot{}f_1+\blue{0}\cdot{}f_2+\green{0}\cdot{}f_3[/mm]
Die Koeffizienten liefern dir die erste Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix, also
[mm]M(\varphi)=\pmat{\red{0}&\ldots&\ldots\\
\blue{0}&\ldots&\ldots\\
\green{0}&\ldots&\ldots}[/mm]
Analog ergibt sich die 2.Spalte, wenn du die Prozedur für den 2.Basisvektor [mm]f_2[/mm] machst:
[mm]\varphi(f_2)=\ldots=\red{\ldots}\cdot{}f_1+\blue{\ldots}\cdot{}f_2+\green{\ldots}\cdot{}f_3[/mm]
usw.
Gruß
schachuzipus
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Easy!
Kannst du mir ein schwieriegeres Beispiel nennen? Und/Oder ein Polynom das ich noch aufs Minimalpolynom bringen muss. Wie würde das gehen?
DANKE!
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> Easy!
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> Kannst du mir ein schwieriegeres Beispiel nennen? Und/Oder
> ein Polynom das ich noch aufs Minimalpolynom bringen muss.
> Wie würde das gehen?
>
> DANKE!
Hi!
Betrachte die Abbildung [mm] $f:\IR^n\to \IR^n,f\left(v_j\right)=v_{j+1},1\leq j\leq [/mm] n $ mit der Standardbasis.
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Di 21.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Easy!
> >
> > Kannst du mir ein schwieriegeres Beispiel nennen? Und/Oder
> > ein Polynom das ich noch aufs Minimalpolynom bringen muss.
> > Wie würde das gehen?
> >
> > DANKE!
>
> Hi!
>
> Betrachte die Abbildung [mm]f:\IR^n\to \IR^n,f\left(v_j\right)=v_{j+1},1\leq j\leq n[/mm]
> mit der Standardbasis.
Was ist dabei [mm] f(v_n) [/mm] ??
FRED
>
> Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Mi 22.09.2010 | | Autor: | DrNetwork |
[mm] X^n?
[/mm]
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Hallo,
für welche Abbildung hast Du Dich denn jetzt entschieden?
Solange wir nicht wissen, wie die Abbildung definiert ist, kann man über das charakteristische Polynom nichts sagen.
Wie von Fred angemerkt, ist ja bisher nicht klar, was mit [mm] v_n [/mm] passiert, worauf das also abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:13 Do 23.09.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Ich hab das so verstanden aus
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ...\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots } \leadsto \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & ...\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots }
[/mm]
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> Ich hab das so verstanden aus
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ...\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots } \leadsto \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & ...\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots }[/mm]
>
Hallo,
was Du damit nun meinst...
Und sind bei Euch unendlich große Matrizen definiert worden? (Eher nicht.)
Konkretisieren wir die Sache mal und nehmen n=4.
Mit der Basis [mm] B:=(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] haben wir
die Abbildung [mm] f:\IR^4\to \IR^4 [/mm] definiert durch
[mm] f(v_1)=v_2
[/mm]
[mm] f(v_2):=v_3
[/mm]
[mm] f(v_3):=v_4.
[/mm]
Nun müßte man noch wissen, was [mm] f(v_4) [/mm] sein soll.
Sonst kann man doch nicht die letzte Spalte der Matrix eintragen!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Do 23.09.2010 | | Autor: | DrNetwork |
> was Du damit nun meinst...
> Und sind bei Euch unendlich große Matrizen definiert
> worden? (Eher nicht.)
Ob die definiert wurden weiss ich nicht. Aber wir rechnen damit, ja.
[mm] f(v_4) [/mm] = [mm] v_5
[/mm]
Das ist nur eine Interpretation seiner Aufgabenstellung. Halt [mm] f(v_n)=v_{n+1}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > was Du damit nun meinst...
> > Und sind bei Euch unendlich große Matrizen definiert
> > worden? (Eher nicht.)
>
> Ob die definiert wurden weiss ich nicht. Aber wir rechnen
> damit, ja.
Donnerwetter !
>
> [mm]f(v_4)[/mm] = [mm]v_5[/mm]
Besser:
[mm]f(v_4)[/mm] = [mm]v_1[/mm]
FRED
>
> Das ist nur eine Interpretation seiner Aufgabenstellung.
> Halt [mm]f(v_n)=v_{n+1}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Do 23.09.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Achso, nein ich meinte schon das ursprüngliche [mm] \IR^\IR.
[/mm]
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> Achso, nein ich meinte schon das ursprüngliche [mm]\IR^\IR.[/mm]
???
Ich weiß nicht, was Du mit [mm] $\IR^\IR$ [/mm] meinst, aber normalerweise ist das der Raum der Funktionen, welche aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.
Ich glaube, hier gibt's irgendein großes Mißverständnis. f entstammt jedenfalls nicht diesem Raum.
Und wenn wir es mit einem VR [mm] \IR^n [/mm] zu tun haben, gibt es dort keinen (n+1)-ten Basisvektor.
Gruß v. Angela
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Hab die aufgabe aus dem gedächtnis heraus zitiert, tut mir leid für die missverständnisse!
ich glaube, dass in der tat [mm] $f(v_n)=v_1$ [/mm] gelten soll.
grüße, stefan
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