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Charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
Ich habe einen Beweis, bei dem ich das charakteristische Polynom [mm] $\chi_A(X)$ [/mm] betrachte. Hier wird jetzt eine Funktion [mm] $\phi$ [/mm] definiert, die durch Einsetzung von  [mm] $\alpha$ [/mm] definiert ist, d.h. in einem formalen Polynom aus dem Polynomring $K[X]$ wird X durch a ersetzt. Jetzt ist das charakteristische Polynom definiert als  [mm] $det(X*E_n-A)$ [/mm] , welcher man vermittels der Leibniz-Formel eine Determinanten zuordnen kann. Im []verlinkten Skript auf Seite 96 wird hier in Satz7.11 so vorgegangen, dass unsere definierte Funktionen auf  [mm] $\chi_A(X)$ [/mm] angewendet wird. Könnte mir bitte jemand kurz erklären, wie ich hier insbesondere im Fall von [mm] $\phi(sgn(\sigma))$ [/mm] vorzugehen habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Mi 09.05.2018
Autor: meili

Hallo Maxi 1995,

> Hallo,
>  Ich habe einen Beweis, bei dem ich das charakteristische
> Polynom [mm]\chi_A(X)[/mm] betrachte. Hier wird jetzt eine Funktion
> [mm]\phi[/mm] definiert, die durch Einsetzung von  [mm]\alpha[/mm] definiert
> ist, d.h. in einem formalen Polynom aus dem Polynomring
> [mm]K[X][/mm] wird X durch a ersetzt. Jetzt ist das
> charakteristische Polynom definiert als  [mm]det(X*E_n-A)[/mm] ,
> welcher man vermittels der Leibniz-Formel eine
> Determinanten zuordnen kann. Im
> []verlinkten
> Skript auf Seite 96 wird hier in Satz7.11 so vorgegangen,
> dass unsere definierte Funktionen auf  [mm]\chi_A(X)[/mm] angewendet
> wird.

Soweit sehe ich bei dem Beweis von 7.11 das auch so.

> Könnte mir bitte jemand kurz erklären, wie ich hier
> insbesondere im Fall von [mm]\phi(sgn(\sigma))[/mm] vorzugehen
> habe?

Es wird aber nicht [mm] $sgn(\sigma)$ [/mm] in [mm] $\phi$ [/mm] eingesetzt, sondern die
Determinate von [mm] $(\alpha [/mm] * [mm] E_n [/mm] - A)$ mit der Leibnizformel (3.29)
berechnet. Davon kommen die [mm] $sgn(\sigma)$. [/mm]
Und diese Determinate ist das gleiche wie was man durch
[mm] $\phi(\chi_A(X))$ [/mm] erhält.

>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Meili danke für deine Antwort. Ich wollte nicht nur sgn einsetzen, sondern den Ausdruck [mm] $\varphi(\chi_A(X))$ [/mm] betrachten, wie du es angesporchen hast. Aber der Hinweis auf die Recheneigenschaften von [mm] $\varphi$ [/mm] lässt mich vermuten, dass auch ein Faktor [mm] $\varphi(sgn(\sigma))$ [/mm] auftritt und ich weiß nicht, wie ich mit dem umgehen soll. Lässt den [mm] $\varphi$ [/mm] einfach unangetatset?
Ich würde es so machen:
[mm] $\varphi(\chi_A(X))= \varphi(\det(XE_{n}-A))=\varphi(\sum_{\sigma}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)b_{1\sigma(1)}(X)\cdots b_{n\sigma(n)}(X))=\sum_{\sigma}\varphi(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)) \varphi(b_{1\sigma(1)}(X)) \cdots \varphi(b_{n\sigma(n)}(X))$ [/mm] Dann würde in den Polynomen mit X das X durch [mm] $\alpha$ [/mm] ersetzt und gut, aber bei dem sgn hänge ich.



Bezug
                        
Bezug
Charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 09.05.2018
Autor: meili

Hallo Maxi1995,

> Meili danke für deine Antwort. Ich wollte nicht nur sgn
> einsetzen, sondern den Ausdruck [mm]\varphi(\chi_A(X))[/mm]
> betrachten, wie du es angesporchen hast. Aber der Hinweis
> auf die Recheneigenschaften von [mm]\varphi[/mm] lässt mich
> vermuten, dass auch ein Faktor [mm]\varphi(sgn(\sigma))[/mm]
> auftritt und ich weiß nicht, wie ich mit dem umgehen soll.
> Lässt den [mm]\varphi[/mm] einfach unangetatset?
>  Ich würde es so machen:
>  [mm]\varphi(\chi_A(X))= \varphi(\det(XE_{n}-A))=\varphi(\sum_{\sigma}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)b_{1\sigma(1)}(X)\cdots b_{n\sigma(n)}(X))=\sum_{\sigma}\varphi(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)) \varphi(b_{1\sigma(1)}(X)) \cdots \varphi(b_{n\sigma(n)}(X))[/mm]
> Dann würde in den Polynomen mit X das X durch [mm]\alpha[/mm]
> ersetzt und gut, aber bei dem sgn hänge ich.

[mm] $sgn(\sigma)$ [/mm] ist 1 oder -1 (Vergl. Seite 39 im Beweis zu Korollar 3.28)

[mm] $\phi(a) [/mm] = a$ für $a [mm] \in [/mm] K$

Wie auch bei [mm] $\phi(\summe_{k=0}^{n}a_k X^k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k \alpha^k$ [/mm] die [mm] $a_k$ [/mm]

Edit:
falsch: [mm] $sgn(\sigma)b_{i,\sigma(i)} \in [/mm] K$
In den Konventionen von []Skript sind  [mm] $sgn(\sigma)b_{i,\sigma(i)}(X) \in [/mm] K[X]$.
Sorry, leider bemerkte ich den Irrtum erst später.

>  
>  

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Mo 14.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo Meili,
Ich denke du meinst $ [mm] sgn(\sigma)b_{i\sigma(i)}(X) \in [/mm] K[X]$, oder? Wo hast du diese Konvention gesehen? Ist es dann im Endeeffekt so, dass man sgn formal als plus beziehungsweise minus interpretiert? Denn ich hatte mich eh gefragt, wie etwas was in den ganzen Zahlen lebt, auf einmal in einem beliebigen Körper vorkommen kann, das war eine weitere Frage die dabei aufkam.


Bezug
                                        
Bezug
Charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:25 Di 15.05.2018
Autor: meili

Hallo Maxi1995,

> Hallo Meili,
>  Ich denke du meinst [mm]sgn(\sigma)b_{i\sigma(i)}(X) \in K[X][/mm],
> oder?

Ja, so war das gemeint.

> Wo hast du diese Konvention gesehen?

In dem von dir []verlinkten Skript auf Seite 95.  
Die Polynome, die auftauchen sind $X [mm] -a_{i,i}$ [/mm] und [mm] $-a_{i,k}$. [/mm]

>  Ist es dann im
> Endeeffekt so, dass man sgn formal als plus beziehungsweise
> minus interpretiert?

Ja, kommt von der Berechnung der Determinante mit der Lebnizformel (3.29).

> Denn ich hatte mich eh gefragt, wie
> etwas was in den ganzen Zahlen lebt, auf einmal in einem
> beliebigen Körper vorkommen kann, das war eine weitere
> Frage die dabei aufkam.

Was das mit den ganzen Zahlen zu tun hat, weis ich nicht, außer
wenn die Matrix $A = [mm] (a_{i,j})$ [/mm] nur ganzzahlige Einträge hat.

>  

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Sa 19.05.2018
Autor: Maxi1995

Meili,
danke für deine Antwort.
Ich hatte gemeint, wie sgn zu verstehen ist, da es ja bei uns als Determinante der zu [mm] $\sigma$ [/mm] gehörigen Permutationsmatrix definiert wurde. Die det ist ja erst mal -1 bzw. 1, da die Permutationsmatrizen durch Spaltenvertauschung aus der Einheitsmatrix entstehen. Ich hatte mich jetzt halt gefragt, wie ich von einem Element aus [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] dazu komme, von einem formalen Plus bzw. Minus zu sprechen, wie es bei Polynomen der Fall ist (wir hatten da nämlich gesagt, dass Polynome formale Summen sind, bei denen wir uns um die Bedeutung von Plus keine Gedanken machen). Ist das dann eine Konventionssache?

Bezug
                                                        
Bezug
Charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Di 22.05.2018
Autor: meili

Hallo Maxi,

> Meili,
>  danke für deine Antwort.
>  Ich hatte gemeint, wie sgn zu verstehen ist, da es ja bei
> uns als Determinante der zu [mm]\sigma[/mm] gehörigen
> Permutationsmatrix definiert wurde. Die det ist ja erst mal
> -1 bzw. 1, da die Permutationsmatrizen durch
> Spaltenvertauschung aus der Einheitsmatrix entstehen. Ich
> hatte mich jetzt halt gefragt, wie ich von einem Element
> aus [mm]\mathbb{Z}[/mm] dazu komme, von einem formalen Plus bzw.
> Minus zu sprechen, wie es bei Polynomen der Fall ist (wir
> hatten da nämlich gesagt, dass Polynome formale Summen
> sind, bei denen wir uns um die Bedeutung von Plus keine
> Gedanken machen). Ist das dann eine Konventionssache?

Ich versuche mit meiner Antwort etwas Licht in die Sache zu bringen,
aber vielleicht trägt sie nur zur weiteren Verwirrung bei.

In dem zitierten Skript geht es um einen Körper K (von dem sonst nichts
weiter bekannt ist, also müssen die Aussagen für jeden Körper gelten)
und Matrizen $A = [mm] (a_{ij}) \in K^{n \times n}$. [/mm]

Wenn 1 vorkommt, so ist es das neutrale Element des Körpers K bezüglich
der im Körper K definierten Multiplikation. -1 ist das inverse Element zu 1
bezüglich der im Körper K definierten Addition. (Es werden die gleichen
Zeichen wie in [mm] $\IQ, \IR$ [/mm] u.s.w. verwendet, auch für Multiplikation und Addition.)

Werden Elemente aus dem Polynomring K[X] in der Form [mm] $a_0 [/mm] + a_1X + [mm] a_2X^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_nX^n$ [/mm]
geschrieben, stimmt das mit rein formal und ohne weitere Bedeutung der "+".

Wird nun die Einsetzungsabbildung [mm] $\varphi [/mm] : K[X] [mm] \to [/mm] K$ (eigentlich Abbildungen
[mm] $\varphi_{\alpha} [/mm] : K[X] [mm] \to [/mm] K$, da es für jedes [mm] $\alpha \in [/mm] K$ eine solche Abbildung gibt) betrachtet,
ist in [mm] $a_0 [/mm] + [mm] a_1\alpha [/mm] + [mm] a_2\alpha^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n\alpha^n$ [/mm] "+" die in K definierte Addition.

Für $a [mm] \in [/mm] K$ bedeutet $-a$ das inverse Element zu $a$ bezüglich der Addition in K.
$(-1) a = -a$
Wie in [mm] $\IQ, \IR$ [/mm] u.s.w. wird nicht immer zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen
unterschieden, sondern gleich zusammengefasst.
Deshalb kann die Multiplikation mit 1 oder -1 als Vorzeichen gedeutet werden.

Im Skript kommt "-" nur als Operation zwischen Matrizen vor.

Gruß
meili


Bezug
                                                                
Bezug
Charakteristisches Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Mo 18.06.2018
Autor: Maxi1995

Hallo Meili,
vielen Dank für deine Antwort, ich werde mir das zu Gemüte führen. Im Fall von weiteren Fragen melde ich mich wieder.

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