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| Aufgabe | Man betrachte den Körper L := [mm] \IQ(\wurzel{19}) [/mm] als Vektorraum über
dem Körper [mm] \IQ. [/mm] Es sei [mm] \alpha= [/mm] a + [mm] b\wurzel{19} [/mm] ein festes Element
von L (mit a, b [mm] \in \IQ). [/mm] Man betrachte die lineare Abbildung
[mm] \gamma_{\alpha}: \begin{cases} L & \mbox{--> } L \\ x & \mbox{ -->} \alpha * x \end{cases}
[/mm]
Man bestimme das charakteristische Polynom dieser Abbildung ! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi zusammen,
Ich habe die oben beschriebene Aufgabe vor mir liegen und komme nachdem ich dies hier bereits "gerechnet" habe nicht mehr weiter:
[mm] P_{\gamma}(t) [/mm] = [mm] det(t*1_{n} [/mm] - A) mit A = [mm] A^\gamma (\alpha) [/mm] = [mm] A^\gamma [/mm] (a + b [mm] \wurzel{19})
[/mm]
= det(t + [mm] (a-b\wurzel{19})) [/mm] = ?
Mich verwirrt hier, dass ich nicht weiss, wie ich mit dem Ausdruck [mm] (a+b\wurzel{19}) [/mm] umgehen soll im Zusammenhang mit der Bestimmung des charakteristischen Polynoms. Mit "richtigen" Matrizen hab ich da absolut keine Probleme, nur hier in diesem Fall weiss ich grade nicht weiter.
Wäre nett wenn mir jmd helfen könnte,
Grüße Sörn
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> Man betrachte den Körper L := [mm]\IQ(\wurzel{19})[/mm] als
> Vektorraum über
> dem Körper [mm]\IQ.[/mm] Es sei [mm]\alpha=[/mm] a + [mm]b\wurzel{19}[/mm] ein festes
> Element
> von L (mit a, b [mm]\in \IQ).[/mm] Man betrachte die lineare
> Abbildung
> [mm]\gamma_{\alpha}: \begin{cases} L & \mbox{--> } L \\ x & \mbox{ -->} \alpha * x \end{cases}[/mm]
>
> Man bestimme das charakteristische Polynom dieser Abbildung
> !
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi zusammen,
>
> Ich habe die oben beschriebene Aufgabe vor mir liegen und
> komme nachdem ich dies hier bereits "gerechnet" habe nicht
> mehr weiter:
Hallo,
ich kann Deinen Rechnungen nicht recht folgen.
Zunächst einmal muß man sich ja überlegen, was mit "das charakteristische Polynom dieser Abbildung" gemeint ist.
Das ist doch das Charakteristische Polynom der darstellenden Matrix dieser Abbildung.
Man benötigt also die darstellende Matrix.
Und um die darstellende matrix aufzustellen, braucht man eine Basis des Vektorraumes.
Was ist eine Basis von L?
Wie lauten die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung [mm] \gamma_{\alpha}?
[/mm]
Damit bekommst Du die Matrix, die Berechnung des Polynoms kann sich anschließen.
Gruß v. Angela
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> [mm]P_{\gamma}(t)[/mm] = [mm]det(t*1_{n}[/mm] - A) mit A = [mm]A^\gamma (\alpha)[/mm]
> = [mm]A^\gamma[/mm] (a + b [mm]\wurzel{19})[/mm]
> = det(t + [mm](a-b\wurzel{19}))[/mm] = ?
>
> Mich verwirrt hier, dass ich nicht weiss, wie ich mit dem
> Ausdruck [mm](a+b\wurzel{19})[/mm] umgehen soll im Zusammenhang mit
> der Bestimmung des charakteristischen Polynoms. Mit
> "richtigen" Matrizen hab ich da absolut keine Probleme, nur
> hier in diesem Fall weiss ich grade nicht weiter.
>
> Wäre nett wenn mir jmd helfen könnte,
> Grüße Sörn
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Wie genau komme ich auf die Basis des Vektorraums? Ich befinde mich hier doch im 1 dimensionalen Bereich, das heisst meine Basis ist [mm] \vektor{1}?
[/mm]
Grüße Sörn
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> Wie genau komme ich auf die Basis des Vektorraums? Ich
> befinde mich hier doch im 1 dimensionalen Bereich, das
> heisst meine Basis ist [mm]\vektor{1}?[/mm]
Hallo,
oh nein, eindimensional ist das keinesfalls!
Mit der Basis (1) wirst Du z.B. nicht das Element [mm] \wurzel{19}\in [/mm] $ [mm] \IQ(\wurzel{19}) [/mm] $ erzeugen können...
Bedenke: wir reden über einen VR über [mm] \IQ. [/mm] Deshalb muß die Basis ein bißchen üppiger ausfallen.
Gruß v. Angela
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