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| Aufgabe | Auszug aus meinem Vorlesungsmitschrift:
Sei A [mm] \in K^{n x n} [/mm] und [mm] \lambda \in [/mm] K ein Eigenwert von A.
Dann ist [mm] p_{A} [/mm] = det( A - [mm] I_{n} \lambda [/mm] ) = [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k} \lambda^{k} [/mm] das charakt. Polynom.
Für dieses Polynom gilt immer:
[mm] \alpha_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] und [mm] \alpha_{n - 1} [/mm] = [mm] (-1)^{n}\summe_{k=0}^{n} a_{kk} [/mm] , mit [mm] a_{kk} [/mm] = Diagonalwerte von A
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Meine Verständnisschwierigkeiten beziehen sich auf den letzten Teil des Auszuges. Wieso ist [mm] \alpha_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n}?
[/mm]
Ich verstehe, dass der Summand von [mm] p_{A} [/mm] mit dem höchsten Grad das Produkt aus den Diagonalelementen ist, also:
[mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda )*...*(a_{nn} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] ). Nach dem obigen Satz müsste dieser Summan gleich [mm] (-1)^{n} \lambda^{n} [/mm] sein.
Wie komme ich den von [mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda )*...*(a_{nn} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] ) zu [mm] (-1)^{n} \lambda^{n}?
[/mm]
Wenn ich [mm] \lambda [/mm] rausziehe kriege ich:
[mm] (a_{11} [/mm] - 1 [mm] )*...*(a_{nn} [/mm] - 1 ) [mm] \lambda^{n} [/mm]
D.h. , es muss gelten:
[mm] (a_{11} [/mm] - 1 [mm] )*...*(a_{nn} [/mm] - 1 ) = [mm] (-1)^{n}?
[/mm]
Gruß Snafu
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> Auszug aus meinem Vorlesungsmitschrift:
> Sei A [mm]\in K^{n x n}[/mm] und [mm]\lambda \in[/mm] K ein Eigenwert von
> A.
> Dann ist [mm]p_{A}[/mm] = det( A - [mm]I_{n} \lambda[/mm] ) =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k} \lambda^{k}[/mm] das charakt.
> Polynom.
>
> Für dieses Polynom gilt immer:
> [mm]\alpha_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] und [mm]\alpha_{n - 1}[/mm] =
> [mm](-1)^{n}\summe_{k=0}^{n} a_{kk}[/mm] , mit [mm]a_{kk}[/mm] =
> Diagonalwerte von A
>
> Meine Verständnisschwierigkeiten beziehen sich auf den
> letzten Teil des Auszuges. Wieso ist [mm]\alpha_{n}[/mm] =
> [mm](-1)^{n}?[/mm]
Hallo,
[mm] a_n [/mm] ist der Koeffizient vor der Potenz mit dem höchsten Grad, also vor [mm] \lambda^n.
[/mm]
> Ich verstehe, dass der Summand von [mm]p_{A}[/mm] mit dem höchsten
> Grad das Produkt aus den Diagonalelementen ist, also:
> [mm](a_{11}[/mm] - [mm]\lambda )*...*(a_{nn}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] ).
Nicht ganz. Das ist der einzige Summand, der zum Koeffizienten von [mm] \lambda^n [/mm] beiträgt.
Und der Beitrag ist nunmal [mm] (-1)^n.
[/mm]
Probier's aus mit n=5 (oder so).
> Nach dem
> obigen Satz müsste dieser Summan gleich [mm](-1)^{n} \lambda^{n}[/mm]
> sein.
> Wie komme ich den von [mm](a_{11}[/mm] - [mm]\lambda )*...*(a_{nn}[/mm] -
> [mm]\lambda[/mm] ) zu [mm](-1)^{n} \lambda^{n}?[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\lambda[/mm] rausziehe kriege ich:
> [mm](a_{11}[/mm] - 1 [mm])*...*(a_{nn}[/mm] - 1 ) [mm]\lambda^{n}[/mm]
Ömm - Du ziehst sehr merkwürdig raus... Es ist nämlich ( [mm] 5-4)(6-4)(7-4)\not= (5-1)(6-1)(7-1)4^3
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich verstehe grad nicht wirklich, wie ich das mit n=5 ausprobieren soll?
Ich stolpere immer darüber, dass der Koeffizient vom Betrag gleich 1 sein soll? Entsteht der Koeffizient für [mm] \lambda^{n} [/mm] nicht aus [mm] (a_{kk} [/mm] - [mm] \lambda )^{n} [/mm] , k = 1,.., n ? Wieso wird das immer gleich +- 1?
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> Hallo,
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> ich verstehe grad nicht wirklich, wie ich das mit n=5
> ausprobieren soll?
Hallo,
indem Du z.B. mal [mm] (1-\lambda)*(2-\lambda)*(3-\lambda)*(4-\lambda)*(5-\lambda) [/mm] ausrechnest und guckst, wie der Koeffizient vor [mm] \lambda^5 [/mm] lautet.
Wie schon zuvor geschreiben: Es ist nicht [mm] (a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda) [/mm] der Koeffizient von [mm] \lambda^n, [/mm] sondern es ist der einzige Summand, der zum Koeffizienten von [mm] \lambda^n [/mm] beiträgt.
Oder nimm Dir eine x-beliebige [mm] 3\times [/mm] 3- Matrix, und rechne langsam ihr CP aus und guck, wo der Koeffizient von [mm] \lambda^3 [/mm] herkommt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Sa 20.03.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ok hab es verstanden. Habe vorher zu simpel gedacht und dir Zwischenschritte übersprungen.
Vielen Dank. Snafu.
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