Chebychev-Ungl. und Approx. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei 10000 unabhängigen Münzwürfen sei [mm] X_i=-1, [/mm] wenn im i-ten Wurf Kopf kam, und [mm] X_i=1, [/mm] wenn im i-ten Wurf Zahl kam, [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] 10000.
a) Geben Sie mit Hilfe der Chebychev-Ungl. eine Abschätzung nach oben für [mm] P(|\summe_{i=1}^{10000}X_i|\ge [/mm] 200) an.
b) Approximieren Sie die gleiche W wie in a) unter Zurücknahme eins geeigneten Grenzwertsatzes. |
Hi,
bei dieser Aufgabe habe ich so einige Probleme. Erst weiß ich gerade gar nicht, welche Verteilung das Ganze beschreibt, um den Erwartungswert und die Varianz auszurechnen. Ist es die Binomialverteilung und deswegen:
E(X)=10000*(-1)+10000*(1)=0
Die Cheby.-Ungl. lautet: [mm] P(|X-E(X)|\ge a)\le \bruch{Var(X)}{a^2}
[/mm]
aber wie kriege ich jetzt die Varianz??
Also ihr seht, ich komme gerade nicht weiter und wäre deswegen für Hilfe sehr dankbar.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
es ist die Binomialverteilung, nur skaliert und verschoben.
Y=cX+d
Was heißt das für Erwartungswert und Varianz?
ciao
Stefan
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Hi,
> es ist die Binomialverteilung, nur skaliert und verschoben.
> Y=cX+d
> Was heißt das für Erwartungswert und Varianz?
Also Allgemein gilt ja dann für die Binomailverteilung: E(X)=np und Var(X)=nq
So du sagst jetzt sakliert und verschoben. Der Erwartungswert ist ja Linear, d.h.
E(cX+d)=cE(X)+d. aber was bringt mir das? Und Was sind dann c und d??
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Also Allgemein gilt ja dann für die Binomailverteilung:
> E(X)=np und Var(X)=nq
Var(X)=npq
> So du sagst jetzt sakliert und verschoben. Der
> Erwartungswert ist ja Linear, d.h.
>
> E(cX+d)=cE(X)+d. aber was bringt mir das? Und Was sind dann
was ähnliches gibt's für die Varianz auch...
> c und d??
Wie wär's, wenn Du Dir die Teile einfach mal anschaust?!
Du wirst es doch gerade noch hinkriegen, c und d so zu bestimmen, daß [mm] $X_i$, [/mm] die 0 od. 1 sein können, jetzt -1 od. 1 sind!
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Hi,
> was ähnliches gibt's für die Varianz auch...
E(cX+d)=cE(X)+d
ja ich weiß auch, dass für die Varianz gilt: [mm] V(cX+d)=c^2 [/mm] Var(X)
> Du wirst es doch gerade noch hinkriegen, c und d so zu bestimmen, daß $ [mm] X_i [/mm] $, die 0 od. 1 sein können, jetzt -1 od. 1 sind!
Nur weiß ich jetzt leider immer noch nicht ,was du hier damit meinst?? :-//
Ist c=1 und d=10000 oder wie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Hi,
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> > was ähnliches gibt's für die Varianz auch...
>
> E(cX+d)=cE(X)+d
> ja ich weiß auch, dass für die Varianz gilt: [mm]V(cX+d)=c^2[/mm]
> Var(X)
>
> > Du wirst es doch gerade noch hinkriegen, c und d so zu
> bestimmen, daß [mm]X_i [/mm], die 0 od. 1 sein können, jetzt -1
> od. 1 sind!
>
> Nur weiß ich jetzt leider immer noch nicht ,was du hier
> damit meinst?? :-//
Sei [mm] $X_i$ [/mm] Bernoulli(1/2) verteilt, dann ist doch [mm] $X_i=0$ [/mm] mit Wkeit 1/2 und [mm] $X_i=1$ [/mm] mit Wkeit 1/2.
Wie könnte man jetzt c und d wählen, daß [mm] $cX_i [/mm] + d$ mit Wkeit 1/2 gleich -1 ist, und mit Wkeit 1/2 gleich 1 ist?
$c*0+d=-1$
$c*1+d=1$
Ergo d=-1 und c=2.
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hi nochmal,
> d=-1 und c=2.
danke für die Berechnung. d.h.:
cE(X)+d=2*(10000*0,5)-1=9999 => E(X)=9999 und
[mm] c^2 [/mm] Var(X)=4*(10000*0,5*0,5)=1000 => Var(C)=10000
Dann erhalten wir mit der Formel [mm] P(|X-E(X)|\ge a)\le \bruch{Var(X)}{a^2}:
[/mm]
[mm] P(|\summe_{i=1}^{10000}X_i-9999|\ge 200)\le \bruch{10000}{40000}=0,25
[/mm]
ich bin mir jetzt gerade nur nicht sicher, ob man auch hätte was mit der Summe machen müssen? also [mm] \summe_{i=1}^{10000}X_i???
[/mm]
und eine andere Frage auch nochmal. woran erkennt man in dieser aufgabe überhaupt, dass der EW/Var skaliert und verschoben sind??? was deutet darauf hin??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
> hi nochmal,
>
> > d=-1 und c=2.
Für eine einzelne Bernoulli-Variable, nennen wir sie mal [mm] $Y_i$. [/mm] Für die [mm] $X_i$ [/mm] aus der Angabe gilt dann
[mm] $X_i=cY_i+d$
[/mm]
Und damit für die Summe aus 10000
[mm] $\sum_{i=1}^{10000}X_i=\sum_{i=1}^{10000}(cY_i+d)=10000d+c\underbrace{\sum_{i=1}^{10000} Y_i}_{\text{binomial}}=2Y-10000$
[/mm]
wobei Y~binomial(10000,1/2), d.h. $E(2Y-10000)=0, Var(2Y-10000)=10000$
> und eine andere Frage auch nochmal. woran erkennt man in
> dieser aufgabe überhaupt, dass der EW/Var skaliert und
> verschoben sind??? was deutet darauf hin??
Aufgabe lesen!!! Der Text!!111oneoneone kthxbye
Deine [mm] $X_i$ [/mm] werden durch Münzwurf bestimmt, nur sind die Werte halt nicht 0 und 1, sondern -1 und 1.
ciao
Stefan
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