Chebychev Ungleichung,Normalap < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Warenhaus startet eine Werbeaktion, bei der die ersten 1000 Einsender eine Damen- bzw. Herrenuhren erhalten sollen. Gehen Sie davon aus, dass sich Männer und Frauengleichermaßen von der Aktion angesprcohen fühlen. Wie viele Damen- bzw. Herrenuhren muss das Unternehmen vorrätig halten, damit 98% der Einsender die passende Uhr bekommen? Verwenden Sie
a.) die Chebyshev-Ungleichung
b.) die Normalapproximation |
Hallo Forum,
Also ich drehe mich seit geraumer Zeit schon bei dieser Aufgabe im Kreis und wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
Also die Chebyshev-Ungleichung lautet zunächst:
[mm] P(\left| X-EX \right|\ge c)\le \bruch{Var(X)}{c^2}
[/mm]
Um irgendwas mit dieser Ungleichung abzuschätzen muss ich also zunächst den Erwartungswert [mm] (EX=\summe_{x\in X(\Omega)}(xp(x)) [/mm] und die Varianz ( [mm] Var(X)=E(X-E(X))^2 [/mm] ) berechnen.
Also 500 Frauen und 500 Männer sind die ersten 1000 Einsender.
Ich sehe hier den Wald vor lauter Bäumen nicht und weiß nicht wie ich auf den Erwartungswert und Varianz kommen soll :-(.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Do 02.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Britta,
> Ein Warenhaus startet eine Werbeaktion, bei der die ersten
> 1000 Einsender eine Damen- bzw. Herrenuhren erhalten
> sollen. Gehen Sie davon aus, dass sich Männer und
> Frauengleichermaßen von der Aktion angesprcohen fühlen.
> Wie viele Damen- bzw. Herrenuhren muss das Unternehmen
> vorrätig halten, damit 98% der Einsender die passende Uhr
> bekommen? Verwenden Sie
> a.) die Chebyshev-Ungleichung
> b.) die Normalapproximation
> Hallo Forum,
>
> Also ich drehe mich seit geraumer Zeit schon bei dieser
> Aufgabe im Kreis und wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
>
> Also die Chebyshev-Ungleichung lautet zunächst:
> [mm]P(\left| X-EX \right|\ge c)\le \bruch{Var(X)}{c^2}[/mm]
> Um
> irgendwas mit dieser Ungleichung abzuschätzen muss ich
> also zunächst den Erwartungswert [mm](EX=\summe_{x\in X(\Omega)}(xp(x))[/mm]
> und die Varianz ( [mm]Var(X)=E(X-E(X))^2[/mm] ) berechnen.
> Also 500 Frauen und 500 Männer sind die ersten 1000
> Einsender.
Na, wenn das so wäre, müsste das Warenhaus je 500 Uhren vorrätig haben und das wars. 
Es ist wohl eher so zu verstehen, dass die W'keit, dass ein Einsender weiblich, bzw. männlich ist je 50% beträgt. Dann wäre zum Beispiel "X:Anzahl der weiblichen Einsender unter 1000 Personen" binominalverteilt mit n=1000 p=0,5.
> Ich sehe hier den Wald vor lauter Bäumen nicht und weiß
> nicht wie ich auf den Erwartungswert und Varianz kommen
> soll :-(.
Jetzt müsst es klappen.
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
> Liebe Grüße
> Britta_lernt
>
Lg walde
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Fr 03.12.2010 | | Autor: | peeetaaa |
hallo,
beschäftige mich auch grade mit dieser aufgabe aber komme auch nicht so recht weiter...
also das ganze soll binomialverteilt sein mit n=1000 und p=0,5
also folgt ja
[mm] P(X=k)=B_{n,p}{k}= \vektor{n \\ k} p^k(1-p)^{n-k}
[/mm]
also eingesetzt
[mm] \vektor{1000 \\ k} 0,5^k(0,5)^{1000-k}
[/mm]
aber woher weiß ich was mein k hier ist? sind das hier die 98% ?
und wie hilft mir jetzt diese binomialverteilung bei der Chebyshev-Ungleichung weiter?
kann mir das vllt jemand erklären?
gruß,
peeetaaa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 02.12.2010 | | Autor: | Walde |
| Aufgabe | | Aufgabenstellung, siehe Eröffnungspost. |
Hi an alle,
ich musste über die Aufgabe noch etwas nachdenken und bin mittlerweile selbst etwas verwirrt. So wie sie formuliert ist, habe ich den Eindruck, das Warenhaus müsste einfach je 980 Uhren vorrätig haben. Nur in diesem Fall bekommen mit Sicherheit (von einer W'keit ist in der Aufgabe ja nicht die Rede) mindestens 98% der Einsender die richtige Uhr.
Würde man die Formulierung der Aufgabenstellung abwandeln zu: "Wieviele Uhren muss das Warenhaus vorrätig haben, wenn es mit 98%iger Sicherheit allen Einsendern die richtige Uhr geben will?", würde die Lösung ablaufen, wie es ursprünglich geplant war, glaube ich.
Ich würde da gerne noch ne zweite Meinung zu hören.
LG walde
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@Walde
Bin der gleichen Meinung wie du.Es sollte heißen "...,damit mit 98% Sicherheit alle die passende Uhr bekommen."
Denn wie du ja schon gesagt hast, es ist zwar absolut unwahrscheinlich, aber es ist theoretisch möglich, dass alle 1000 Einsender Frauen sind. Dann braucht das Warenhaus 980 Damenuhren. Hat das Warenhaus weniger, gibt es keine 100 prozentige Garantie, dass 98 prozent die passende Uhr bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 So 05.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi luis, hi Pillendreher,
vielen Dank für eure Meinungen. Da bin ich froh, dass mich mein Gefühl nicht getrogen hat.
LG walde
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Ich habe die Aufgabe jetzt mal wie folgt gelöst:
X=Männer Y=Frauen
EX=500 VARX=250
[mm] \Rightarrow P(|X-500|\ge [/mm] c ) [mm] \le 250/c^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X\ge500+c [/mm] oder [mm] X\le500-c) \le 250/c^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X\ge500+c)+P (X\le500-c) \le 250/c^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X\ge500+c)+ P(Y\ge500+c) \le 250/c^{2} [/mm]
X und Y beide identisch verteilt
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] P(X\ge500+c) \le 250/c^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X\ge500+c) \le 125/c^{2}
[/mm]
Man wählt c so dass: [mm] 125/c^{2}=0.02 [/mm] ,also [mm] c\sim79
[/mm]
[mm] P(X\ge579) \le [/mm] 0.02
Ich hoffe mal das es so geht. Ich bin mir ein bisschen unsicher weil für
[mm] 125/c^{2}=0.5 [/mm] , [mm] c\sim16 [/mm] ist. Das wäre ja eine eher grobe Abschätzung durch die Cheb-Ungleichung,weil ja [mm] P(X\ge500)\le [/mm] 0.5 gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Sa 04.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich schliesse mich der Ansicht von Walde und Pillendreher (![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ) an.
@Pillendreher: Kann deinen Ueberlegungen nicht folgen. Es ist doch $Y=1000-X_$. Also ist m.E. $c_$ so gesucht, dass gilt [mm] $P(X\le c\cap 1000-X\le c)\approx [/mm] 0.98$ ...
vg Luis
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Man soll ja die Aufgabe mittels der Cheb-Ungleichung lösen.Diese schätzt die Wahrscheinlichkeit , dass X mehr als c vom EW abweicht,nach oben ab Man braucht aber eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung nach oben, d.h wie wahrscheinlich ist [mm] X\ge500+c.
[/mm]
Am Ende habe ich c so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit für [mm] X\ge500+c [/mm]
kleiner gleich 2Prozent ist. Daraus folgt ja , dass die W. für [mm] X\le500+c [/mm]
größer gleich 98 Prozent ist.
Hat das Warenhaus also 500+c Herren/Damenschuhe auf Lager, bekommen mit mindestens 98 prozentiger Sicherheit alle Herren/Damen die richtigen Schuhe.
Problem ist, dass es nicht eine genau 98 prozentige Sicherheit ist, sondern nur eine Abschätzung nach unten,weil man es eben mit der Cheb-Ungleichung macht.
Deswegen finde ich die Aufgabenstellung doppelt verwirrend/komisch.
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