Chi-Quadrat-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | To determine the significance of an estimate of variance,
[mm] \overline{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2
[/mm]
we enter a table of Chi-square distribution with
[mm] \chi^2=\frac{(n-1)\overline{\sigma}^2}{\sigma^2}
[/mm]
and n-1 degrees of freedom. We shall call estimates so evaluated simple estimates of the variance.
Let x and y be two independent simple estimates of variance with expected values [mm] \hat{x} [/mm] and [mm] \hat{y}, [/mm] and with degres of freedom [mm] r_1 [/mm] and [mm] r_2. [/mm] By transforming the formula for the Chi-square distribution, we obtain for the distribution of x,
[mm] f_1(x)=\frac{1}{\Gamma(\frac{r_1}{2})}(\frac{\hat{r_1}}{2x})^{r_1/2}x^{(r_1-2)/2}\exp{(-r_1x/2\hat{x})},
[/mm]
and a similar distribution, [mm] f_2(y), [/mm] for y. (Sythesis of Variance, F. E. Satterthwaite, ![[]](/images/popup.gif) 1941) |
Hallo allerseits,
ich habe eine Frage zum im Aufgabenteil zitierten Text:
1) Wenn [mm] x\sim\chi^2_{r_1}-verteilt [/mm] ist wie kommt man von der Dichte aus der Aufgabenstellung auf die mir bekannte Dichte?
Auf den ersten Blick sieht es so aus als hätte wäre das die Dichte für [mm] f(x/\hat{r_1}), [/mm] aber das stimmt nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mi 20.03.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nach dem Vorspann besitzt [mm] $r_1x/\hat [/mm] x$ eine [mm] $\chi^2(r_1)$-Verteilung [/mm] mit einer dir bekannten Dichte. Versuche jetzt damit die Dichte von $x$ zu bestimmen. (Hab's allerdings selber nicht durchgeixt.)
vg Luis
|
|
|
| |
|
Hi Luis,
meinst du konkret die Zeilen über Gleichung (1) "...then [mm] rz/\hat{z} [/mm] is approximately distributed as is Chi-square, with r degrees of freedom..."?
Wenn ich deinen Worte
"Versuche jetzt damit die Dichte von $ x $ zu bestimmen."
richtig verstehe, sieht man das im Term [mm] \exp{(-r_1x/2\hat{x})} [/mm] von [mm] f_1(x) [/mm] der von dir angesprochene Quotient [mm] r_1x/\hat{x} [/mm] steht. Den Term [mm] \exp{(\cdot)} [/mm] würde man auch erhalten wenn man die Dichte [mm] f(r_1x/\hat{x}) [/mm] einer Chi-Quadrat verteilten ZG hinschreibt. Meinst du dann das man über das ausixen von [mm] f(r_1x/\hat{x}) [/mm] zur Darstellung von [mm] f_1(x) [/mm] gelangt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Do 21.03.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
>
> meinst du konkret die Zeilen über Gleichung (1) "...then
> [mm]rz/\hat{z}[/mm] is approximately distributed as is Chi-square,
> with r degrees of freedom..."?
Hm, jetzt werden immer mehr Infos zur eigentlichen Frage gegeben, die sich auf den Artikel beziehen. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") In den kann ich nicht einsehen ...
Deine urspruengliche Frage interpretiere ich im Kern wie folgt: Gegeben sei eine Zufallsvariable deren Verteilung in Form der Verteilungsfunktion $F$ bzw. Dichte $f=F'$ du kennst. Gesucht ist die Verteilungsfunktion $G$ bzw. Dichte $g=G'$ von $aX$ fuer ein $a>0$.
Dann ist
[mm] $G(y)=P(aX\le y)=P(X\le [/mm] y/a)=F(y/a)$ und $g(y)=f(y/a)/a$.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Do 21.03.2013 | | Autor: | Reduktion |
Moin Luis,
warum kannst du den Artikel nicht einsehen? Funktioniert der von mir in der Quellenangabe gesetzte Link nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Do 21.03.2013 | | Autor: | Reduktion |
Moin Luis,
warum kannst du den Artikel nicht einsehen? Funktioniert der von mir in der Quellenangabe gesetzte Link nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Do 21.03.2013 | | Autor: | luis52 |
> Moin Luis,
>
> warum kannst du den Artikel nicht einsehen?
Doch. Kleiner Betriebsunfall.
|
|
|
| |
|
Ich erkenne nicht warum $ g(y)=f(y/a)/a $ gilt, also man schreibt [mm] F(y/a)=\int_{-\infty}^{y/a} [/mm] f(x) dx aber so recht weiß ich nicht weiter.
wenn man dann für [mm] a=r_1/\hat{x} [/mm] setzt, handelt es sich dann in [mm] f_1(x) [/mm] bei [mm] \hat{r}_1 [/mm] um einen Schreibfehler und es sollte [mm] r_1 [/mm] heißen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Do 21.03.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich erkenne nicht warum [mm]g(y)=f(y/a)/a[/mm] gilt, also man
> schreibt [mm]F(y/a)=\int_{-\infty}^{y/a}[/mm] f(x) dx aber so recht
> weiß ich nicht weiter.
>
Innere x aeussere Ableitung ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
Ich hatte schon Kettenregel da stehen, ich sehe es aber nicht wirklich und habe in folge dessen den Text geändert. Oder ist der Begriff Kettenregel nicht angebracht und wir reden aneinander vorbei?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Do 21.03.2013 | | Autor: | luis52 |
Mal zum Mitschreiben:
[mm] $g(y)=G'(y)=[F(\dfrac{y}{a})]'=\frac{1}{a}F'(\dfrac{y}{a})=\frac{1}{a}f(\dfrac{y}{a})$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Reduktion |
Hi Luis,
genau das hatte ich vor meinem Auge, konnte mich aber nicht dazu durchringen zuentscheiden ob das Gültigkeit besitzt. Veilen Dank und Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 23.03.2013 | | Autor: | luis52 |
> Veilen Dank und Gruß!
Gerne. Alles Gute.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | ... On calculating the second moments about the means of [mm] f_1(x) [/mm] and [mm] f_2(y), [/mm] the variances of the distributions of x and y are found to be [mm] \sigma_x^2=\frac{\hat{x}^2}{r_1}, \sigma_y^2=\frac{\hat{y}^2}{r_2}. [/mm] |
Hallo Luis,
ich doch noch weiter Fragen dazu. Wenn Y=aX und [mm] X\sim\chi^2(r_1)-verteilt [/mm] ist, mit den Dichten [mm] f_Y(y)=\frac{1}{a}f_X(y/a), [/mm] dann würde ich eine Varianz [mm] \sigma_Y^2=2a^2r_1 [/mm] erwarten. Darauf komme ich wenn ich den Koeffizienten a durch die Gleichungskette schleppe.
Wie kommt man auf [mm] \sigma_x^2=\frac{\hat{x}^2}{r_1}, [/mm] wobei hier klein x für Y steht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 24.03.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie kommt man auf [mm]\sigma_x^2=\frac{\hat{x}^2}{r_1},[/mm] wobei
> hier klein x für Y steht?
Tut mir Leid, ich muss passen. Bin deiner Ansicht, m.E. fehlen bei beiden Varianzen der Faktor 2.
vg Luis
P.S.: Habe das Ganze mal mit Mathematica gerechnet. Auch hier erscheint der Faktor 2. Vielleicht solltest du mal in einen der Folgeausgaben der Psychometrika schauen. Haeufig werden dann derartige Fehler korrigiert.
|
|
|
| |
|
Ich möchte da noch mal nachhaken:
wenn [mm] f_1 [/mm] die Dichte einer ZG Y=aX ist, wobei [mm] X\sim\chi^2(r_1)-verteilt [/mm] ist. Dann müsst doch [mm] f_1(x)=f_Y(x)=\frac{1}{\Gamma(r_1/2)}\left(\frac{r_1}{2\hat{x}}\right)^{r_1/2}x^{(r_1-2)/2}\exp(-r_1x/2\hat{x}) [/mm] sein und nicht die Dichte wie sie im Paper steht. Dabei ist [mm] a=r_1/\hat{x}
[/mm]
Weiter wäre dann die Varianz von Y [mm] \sigma^2=2\left(\frac{r_1}{\hat{x}}\right)^2r_1, [/mm] dann ist das doch etwas komplett anderes als wenn da nur eine 2 fehlt? Oder übersehe ich da etwas?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 24.03.2013 | | Autor: | luis52 |
$x$ solltest du in der Form schreiben [mm] $x=\hat xu/r_1$ [/mm] mit [mm] $u\sim\chi^2(r_1)$. [/mm] Dann besitzt $x$ die angegebene Dichte und
[mm] $\operatorname{Var}[x]=\frac{\hat x^2}{r_1^2}\operatorname{Var}[u]=\frac{2\hat x^2}{r_1}$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 24.03.2013 | | Autor: | Reduktion |
>$x$ solltest du in der Form schreiben [mm] $x=\hat xu/r_1$ [/mm] mit [mm] $u\sim\chi^2(r_1)$. [/mm] Dann besitzt $x$ die angegebene Dichte und
Stimmt ich sehe, was ich falsch gemacht habe, ich muss a so wählen das in f(x/a)/a gleich [mm] $\frac{1}{\Gamma(r_1/2)}\left(\frac{r_1}{2\hat{x}}\right)^{r_1/2}x^{(r_1-2)/2}\exp(-r_1x/2\hat{x}) [/mm] $ steht. Dann muss ich [mm] a=\hat x/r_1 [/mm] wählen.
Damit ergibt sich dann auch die entsprechende Varianz, vielen danke soweit.
|
|
|
|
