Chi Quadrat Dichte für n=1 < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Sa 27.02.2010 | | Autor: | linusg |
Hallo,
ich versuche den graphischen Verlauf der Dichte der Chi-Quadrat Verteilung mit Freiheitsgrad n=1 zu verstehen, ohne dabei auf die genau mathematische Definition der Dichte (mit [mm] \Gamma [/mm] -funktion etc) zurückzugreifen, da ich deren Herleitung, ehrlich gesagt, nicht verstanden habe.
1.)
Ich gehe von folgender Definition für die Chi-Quadrat Verteilung aus:
"Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden ist die Verteilung der Summe n stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen [mm] Z_{k}: X_{n}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+....+Z_{n}^{2}, [/mm] k=1, 2, ..., n."
2.)
[mm] Z_{k} [/mm] sind also standardnormalverteilt, ihre Dichte folgt also der Verteilung:
[mm] Z_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
3.)
Wenn ich mir jetzt den Fall für k=1 ansehe, dann folgt doch für die Dichte von Chi-Quadrat:
[mm] X_{1}=Z_{1}^{2}= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-2*\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
und damit nichts weiter als eine Gaußkurve.
4.)
Wenn ich mir aber die graphischen Darstellungen im Internet ansehe, sieht der Verlauf für k=1 wie eine Exponentialkurve aus also ungefähr wie:
[mm] X_{1}=\alpha e^{-\lambda x}
[/mm]
Frage:
Wo liegt mein Denkfehler?
Bin für jeden Kommentar dankbar :)
L
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Dein Denkfehler liegt bei der Annahme, dass aus
$Y = [mm] X^{2}$
[/mm]
folgt, dass
[mm] $f_{Y}(y) [/mm] = [mm] f_{X}(x)^{2}$
[/mm]
ist. Das stimmt nicht. Einfacheres Beispiel:
$Y = a*X+b$.
Angenommen, du kennst [mm] f_{X}(x). [/mm] Wie berechnest du nun [mm] f_{Y}(y) [/mm] ? So:
[mm] $F_{Y}(y) [/mm] = P(Y [mm] \le [/mm] y) = P(a*X+b [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \frac{y-b}{a}) [/mm] = [mm] F_{X}(\frac{y-b}{a})$.
[/mm]
Ableiten auf beiden Seiten:
[mm] $f_{Y}(y) [/mm] = [mm] f_{X}(\frac{y-b}{a})*\frac{1}{a}$.
[/mm]
Siehst du? Es kommt nicht [mm] $f_{Y}(y) [/mm] = [mm] a*f_{X}+b$ [/mm] oder so etwas ähnliches heraus, sondern was ganz anderes.
Versuche, obige Schritte zu verstehen.
Danach kannst du es mit deiner Aufgabe versuchen.
Allgemein wird das Ganze übrigens durch den ![[]](/images/popup.gif) Transformationssatz (Seite 1-199 bis 1-200, die Funktion s ist die Transformationsfunktion Y = s(X)) für Zufallsvariablen beschrieben.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mo 01.03.2010 | | Autor: | linusg |
Hallo Stefan,
erstmal Danke fuer deine Antwort, das hat mir weitergeholfen!
Ich erhalte die Chi-Quadrat Dichte fuer n=1 also folgendermassen:
[mm] F_{Y}(y) [/mm] = [mm] P(Y\le [/mm] y) = [mm] P(X^{2}\le [/mm] y) = [mm] P(-\wurzel{y}\le [/mm] X [mm] \le \wurzel{y}) [/mm]
und da X standardnormalverteilt ist, folgt daraus
[mm] F_{Y}(y) [/mm] = [mm] 2\Phi(\wurzel{y})-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\infty}^{\wurzel{y}}{e^{x^{2}}}{ dx} [/mm] -1
Um von [mm] F_{Y}(y) [/mm] an die Dichte f(y) zu kommen, muss ich jetzt nach y ableiten - und das ist bei dem Integral nicht ganz ohne :)
OK, aber ich kann mir schon mal vorstellen, warum die Dichte keine Gausskurve sein kann.
Danke & Gruesse
Linus
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