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| Aufgabe | "Hat man n Zufallsvariablen, die unabhängig und standardnormalverteilt sind, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen"
[Wikipedia Eintrag] |
Ich verstehe nicht ganz, wie die zustande kommt.
Für mich ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable beispielsweise die Körpergröße von Menschen: die typische Gaußsche Glockenkurve.
Da ich hier nur eine Zufallsvariable habe (n = Körpergröße) hat meine Chi²-Verteilung also 1 Freiheitsgrad?
Und jetzt quadriere ich alle Werte, die ich erhalten habe? Das heißt, die werden alle positiv?
Und wenn ich jetzt 2 Verteilungen habe (Körpergröße und Gewicht) und beide standardnormalverteilt sind, dann habe ich n Freiheitsgrade und ich quadriere alle Werte aus der ersten und alle Werte aus der zweiten Verteilung und addiere die Ergebnisse?
So liest sich das zumindest aus dem Wikipedia-Artikel.
Hier http://www.reiter1.com/Glossar/Chi2_Verteilung.html steht aber was davon, dass man Stichproben aus einer Std-Normalverteilung zieht und die dann quadriert und die Chi²-Verteilung dann die Varianz der Stichprobe ist.
Was ich nicht verstehe ist, was mit Summe von quadrierten Zufallsvariablen gemeint ist und was mit Stichprobe aus Wahrscheinlichkeitsverteilung gemeint ist.
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Hiho,
> Für mich ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable
> beispielsweise die Körpergröße von Menschen: die
> typische Gaußsche Glockenkurve.
korrekt: Die Dichte einer solchen Zufallsvariable ist die typische Gaußsche Glockenkurve.
> Da ich hier nur eine Zufallsvariable habe (n =
> Körpergröße) hat meine Chi²-Verteilung also 1
> Freiheitsgrad?
>
> Und jetzt quadriere ich alle Werte, die ich erhalten habe?
> Das heißt, die werden alle positiv?
Korrekt.
Kannst ja mal die Dichte dafür herleiten und zeichnen.
> Und wenn ich jetzt 2 Verteilungen habe (Körpergröße und
> Gewicht) und beide standardnormalverteilt sind, dann habe
> ich n Freiheitsgrade und ich quadriere alle Werte aus der
> ersten und alle Werte aus der zweiten Verteilung und
> addiere die Ergebnisse?
>
> So liest sich das zumindest aus dem Wikipedia-Artikel.
Korrekt.
> Hier http://www.reiter1.com/Glossar/Chi2_Verteilung.html
> steht aber was davon, dass man Stichproben aus einer
> Std-Normalverteilung zieht und die dann quadriert und die
> Chi²-Verteilung dann die Varianz der Stichprobe ist.
Das steht da nicht, sondern dass der Erwartungswert der [mm] $\text{Chi}^2$-Verteilung [/mm] die Varianz der Normalverteilung ist.
Beachte dazu:
[mm] $\text{Var}(X) [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] E[X]^2$
[/mm]
Ist X nun also Standardnormalverteilt, so ist [mm] X^2 $\text{Chi}^2$-verteilt [/mm] und es gilt $Var(X) = [mm] E[X^2]$.
[/mm]
D.h. in Worten: Die Varianz der standardnormalverteilten Zufallsvariablen X entspricht gerade dem Erwartungswert der [mm] $\text{Chi}^2$-verteilten [/mm] Zufallsvariable [mm] $X^2$.
[/mm]
> Was ich nicht verstehe ist, was mit Summe von quadrierten
> Zufallsvariablen gemeint ist und was mit Stichprobe aus
> Wahrscheinlichkeitsverteilung gemeint ist.
Da steht ja sowas im Text:
> Zieht man aus einer standardisierten Normalverteilung (Mittelwert=0 und s=1) f Werte
D.h. man zieht f mal aus einer Standardnormalverteilung, d.h. man erhält Werte [mm] $x_1,x_2,\ldots,x_f$, [/mm] wobei alle Werte Realisierungen von standardnormalverteilten Zufallsvariablen [mm] $X_1,X_2,\ldots,X_f$ [/mm] sind.
Demzufolge sind [mm] $x_1^2,x_2^2,\ldots,x_f^2$ [/mm] Realisierungen von [mm] $X_1^2,X_2^2,\ldots,X_f^2$.
[/mm]
Und analog dazu ist [mm] $\summe_{k=1}^f x_k^2$ [/mm] eine Realisierung von [mm] $\summe_{k=1}^f X_k^2$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^f X_k^2$ [/mm] ist nun aber gerade [mm] $\text{Chi}^2$-verteilt [/mm] mit f Freiheitsgeraden.
edit: Und in dem von dir verlinkten Text wird dann mit $X = [mm] (X_1,\ldots,X_f)$ [/mm] der vollständige Zug von f Realisierungen bezeichnet.
Gruß,
Gono
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