matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikChi²-Verteilung verstehen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Stochastik" - Chi²-Verteilung verstehen
Chi²-Verteilung verstehen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Chi²-Verteilung verstehen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mi 19.10.2016
Autor: NefetsClaxon

Aufgabe
"Hat man  n Zufallsvariablen, die unabhängig und standardnormalverteilt sind, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen"
[Wikipedia Eintrag]

Ich verstehe nicht ganz, wie die zustande kommt.

Für mich ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable beispielsweise die Körpergröße von Menschen: die typische Gaußsche Glockenkurve.

Da ich hier nur eine Zufallsvariable habe (n = Körpergröße) hat meine Chi²-Verteilung also 1 Freiheitsgrad?

Und jetzt quadriere ich alle Werte, die ich erhalten habe? Das heißt, die werden alle positiv?

Und wenn ich jetzt 2 Verteilungen habe (Körpergröße und Gewicht) und beide standardnormalverteilt sind, dann habe ich n Freiheitsgrade und ich quadriere alle Werte aus der ersten und alle Werte aus der zweiten Verteilung und addiere die Ergebnisse?

So liest sich das zumindest aus dem Wikipedia-Artikel.

Hier http://www.reiter1.com/Glossar/Chi2_Verteilung.html steht aber was davon, dass man Stichproben aus einer Std-Normalverteilung zieht und die dann quadriert und die Chi²-Verteilung dann die Varianz der Stichprobe ist.

Was ich nicht verstehe ist, was mit Summe von quadrierten Zufallsvariablen gemeint ist und was mit Stichprobe aus Wahrscheinlichkeitsverteilung gemeint ist.



        
Bezug
Chi²-Verteilung verstehen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Do 20.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Für mich ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable
> beispielsweise die Körpergröße von Menschen: die
> typische Gaußsche Glockenkurve.

korrekt: Die Dichte einer solchen Zufallsvariable ist die typische Gaußsche Glockenkurve.

  

> Da ich hier nur eine Zufallsvariable habe (n =
> Körpergröße) hat meine Chi²-Verteilung also 1
> Freiheitsgrad?
>  
> Und jetzt quadriere ich alle Werte, die ich erhalten habe?
> Das heißt, die werden alle positiv?

Korrekt.
Kannst ja mal die Dichte dafür herleiten und zeichnen.

> Und wenn ich jetzt 2 Verteilungen habe (Körpergröße und
> Gewicht) und beide standardnormalverteilt sind, dann habe
> ich n Freiheitsgrade und ich quadriere alle Werte aus der
> ersten und alle Werte aus der zweiten Verteilung und
> addiere die Ergebnisse?
>  
> So liest sich das zumindest aus dem Wikipedia-Artikel.

Korrekt.

> Hier http://www.reiter1.com/Glossar/Chi2_Verteilung.html
> steht aber was davon, dass man Stichproben aus einer
> Std-Normalverteilung zieht und die dann quadriert und die
> Chi²-Verteilung dann die Varianz der Stichprobe ist.

Das steht da nicht, sondern dass der Erwartungswert der [mm] $\text{Chi}^2$-Verteilung [/mm] die Varianz der Normalverteilung ist.

Beachte dazu:
[mm] $\text{Var}(X) [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] E[X]^2$ [/mm]
Ist X nun also Standardnormalverteilt, so ist [mm] X^2 $\text{Chi}^2$-verteilt [/mm] und es gilt $Var(X) = [mm] E[X^2]$. [/mm]
D.h. in Worten: Die Varianz der standardnormalverteilten Zufallsvariablen X entspricht gerade dem Erwartungswert der [mm] $\text{Chi}^2$-verteilten [/mm] Zufallsvariable [mm] $X^2$. [/mm]


  

> Was ich nicht verstehe ist, was mit Summe von quadrierten
> Zufallsvariablen gemeint ist und was mit Stichprobe aus
> Wahrscheinlichkeitsverteilung gemeint ist.

Da steht ja sowas im Text:

> Zieht man aus einer standardisierten Normalverteilung (Mittelwert=0 und s=1) f Werte

D.h. man zieht f mal aus einer Standardnormalverteilung, d.h. man erhält Werte [mm] $x_1,x_2,\ldots,x_f$, [/mm] wobei alle Werte Realisierungen von standardnormalverteilten Zufallsvariablen [mm] $X_1,X_2,\ldots,X_f$ [/mm] sind.

Demzufolge sind [mm] $x_1^2,x_2^2,\ldots,x_f^2$ [/mm] Realisierungen von [mm] $X_1^2,X_2^2,\ldots,X_f^2$. [/mm]

Und analog dazu ist [mm] $\summe_{k=1}^f x_k^2$ [/mm] eine Realisierung von [mm] $\summe_{k=1}^f X_k^2$ [/mm]

[mm] $\summe_{k=1}^f X_k^2$ [/mm] ist nun aber gerade [mm] $\text{Chi}^2$-verteilt [/mm] mit f Freiheitsgeraden.

edit: Und in dem von dir verlinkten Text wird dann mit $X = [mm] (X_1,\ldots,X_f)$ [/mm] der vollständige Zug von f Realisierungen bezeichnet.

Gruß,
Gono




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 27m 5. fred97
DiffGlPar/Existenz der Ableitung
Status vor 8h 43m 2. Staffan
UFina/Estimating the Value at Risk
Status vor 12h 52m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Landau-Symbol (Big-O)
Status vor 1d 3h 03m 3. fred97
UAnaSon/Integrationsreihenfolge ∫∫
Status vor 1d 9h 57m 2. Gonozal_IX
SStochWkeit/WK einer Binomialv.
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]