Chinesicher Restsatz < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mi 28.04.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Chinesischer Restsatz, m = [mm] m_1 \cdot{} m_2 \cdot{} m_3 [/mm] mit [mm] m_1 [/mm] = 5, [mm] m_2 [/mm] = 7, [mm] m_3 [/mm] = 13.
Man suche ein x mit:
x [mm] \equiv [/mm] 31 mod 5
x [mm] \equiv [/mm] 10 mod 7
x [mm] \equiv [/mm] 52 mod 13 |
Hallo,
ich habe nun als erstes geprüft, ob m teilerfremd ist, dies ist leicht zu sehen, da alle drei Primzahlen sind.
[mm] a_1 [/mm] = 31
[mm] a_2 [/mm] = 10
[mm] a_3 [/mm] = 52
Ich bin nun so vorgegangen:
m = 5 [mm] \cdot{} [/mm] 7 [mm] \cdot{} [/mm] 13 = 455
[mm] M_1 [/mm] = [mm] \bruch{455}{5} [/mm] = 91
[mm] M_2 [/mm] = [mm] \bruch{455}{7} [/mm] = 65
[mm] M_3 [/mm] = [mm] \bruch{455}{13} [/mm] = 35
[mm] y_1 \cdot{} [/mm] 91 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5
[mm] y_1 \cdot{} [/mm] 1 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5 -> [mm] y_1 [/mm] = 1
[mm] y_2 \cdot{} [/mm] 65 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7
[mm] y_2 \cdot{} [/mm] 2 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7 -> [mm] y_2 [/mm] = 4
[mm] y_3 \cdot{} [/mm] 35 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 13
[mm] y_3 \cdot{} [/mm] 9 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 13 -> [mm] y_3 [/mm] = 3
Nun noch das gesuchte x konstruieren mit: x = [mm] \sum_{i=1}^{3} a_i \cdot{} y_i \cdot{} M_i [/mm] = 31 [mm] \cdot{} [/mm] 1 [mm] \cdot{} [/mm] 91 + 10 [mm] \cdot{} [/mm] 4 [mm] \cdot{} [/mm] 65 + 52 [mm] \cdot{} [/mm] 3 [mm] \cdot{} [/mm] 35 = 10881
Jetzt kann man ich noch etwas schöner schreiben, da sich die Lösung nicht ändert, wenn man ein Vielfaches von m addiert bzw. subtrahiert:
x = 10881+k [mm] \cdot{} [/mm] 455 für k = -23 ergibt sich: x = 416
Ich wollte nun die Probe machen:
416 [mm] \equiv [/mm] 31 mod 5 Fehler, Ergebnis: 1
416 [mm] \equiv [/mm] 10 mod 7 Fehler, Ergebnis: 3
416 [mm] \equiv [/mm] 52 mod 13 Fehler, Ergebnis: 0
Wo habe ich denn einen Fehler gemacht? Ich finden ihn nicht.
Danke
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Do 29.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
31 ist doch 1 mod 5, das ist nur ein anderer Repräsentant der 1, ebenso ist es mit 10mod7=3mod7
Jed zahl, die den rest 1 bei division durch 5 lässt ist ein repräsentant der klasse 1.
ebenso ist es mit allen rep. also ist alles richtig
gruss leduart
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