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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Sa 06.06.2009 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Die Plätze der Frankfurter CommerzbankArena sind in 43 Blöcke eingeteilt. Im Freiburger
badenovaStadion gibt es 22 Blöcke und in der Münchner AllianzArena finden sich 131 Blöcke.
Eine Reinigungsfirma geht davon aus, dass für die Reinigung eines jeden Blocks in einem Stadion
gleich viele Reinigungskräfte vonnöten sind und rechnet aus:
Wir haben genau 3 Mitarbeiter zu wenig, um die CommerzbankArena zu reinigen. 4 Mitar-
beiter mehr als die Hälfte unserer Mitarbeiter würden für die Reinigung des badenovaStadions
ausreichen. Hätten wir die dreifache Anzahl der Mitarbeiter, die wir haben, so fehlten uns zur
Reinigung der AllianzArena gerade 19 Leute.
Wie viele Mitarbeiter hat die Firma?
(Bemerkung: Sie dürfen einen Taschenrechner benutzen, sollen aber alle Ihre Überlegungen und
die dazu benötigten Zahlen zu Papier bringen.)
Zusatzfrage ohne Bewertung:
Wieviele Mitarbeiter hat die Firma, wenn die Anzahl der nötigen Reinigungskräfte für einen
Block unabhängig von dem Stadion, in dem der Block sich befindet, konstant ist?
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Ich bin bei der Anwendung des Chin.Res. auf obige Aufgabe nicht sicher.
Mein Vorschlag ist:
Sei x die Anzahl der Reinigungskräfte, dann ergeben sich folgende Gleichungen:
[mm] x+3\equiv0 [/mm] (mod 43)
[mm] 1/2*x+4\equiv0 [/mm] (mod 22)
[mm] 3*x+19\equiv0 [/mm] (mod 131)
Kongruent 0 deshalb, weil ja angegeben wird, wieviele Reinigungskräfte ins Stadion genau "reinpassen" in Abhängigkeit von x.
Um den Chin.Restsatz anzuwenden habe ich versucht das obige GL umzuformen:
[mm] x\equiv40 [/mm] (mod 43)
[mm] x\equiv9 [/mm] (mod 22)
[mm] x\equiv [/mm] 1/3*112 (mod 131)????
Letzte Zeile liese sich so dann aber nicht mehr lösen.
Kann mir jemand einen Tipp geben oder sagen, ob der Ansatz so gehen würde?
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Hallo tux23,
> Die Plätze der Frankfurter CommerzbankArena sind in 43
> Blöcke eingeteilt. Im Freiburger
> badenovaStadion gibt es 22 Blöcke und in der Münchner
> AllianzArena finden sich 131 Blöcke.
> Eine Reinigungsfirma geht davon aus, dass für die
> Reinigung eines jeden Blocks in einem Stadion
> gleich viele Reinigungskräfte vonnöten sind und rechnet
> aus:
> Wir haben genau 3 Mitarbeiter zu wenig, um die
> CommerzbankArena zu reinigen. 4 Mitar-
> beiter mehr als die Hälfte unserer Mitarbeiter würden für
> die Reinigung des badenovaStadions
> ausreichen. Hätten wir die dreifache Anzahl der
> Mitarbeiter, die wir haben, so fehlten uns zur
> Reinigung der AllianzArena gerade 19 Leute.
> Wie viele Mitarbeiter hat die Firma?
> (Bemerkung: Sie dürfen einen Taschenrechner benutzen,
> sollen aber alle Ihre Überlegungen und
> die dazu benötigten Zahlen zu Papier bringen.)
> Zusatzfrage ohne Bewertung:
> Wieviele Mitarbeiter hat die Firma, wenn die Anzahl der
> nötigen Reinigungskräfte für einen
> Block unabhängig von dem Stadion, in dem der Block sich
> befindet, konstant ist?
>
> Ich bin bei der Anwendung des Chin.Res. auf obige Aufgabe
> nicht sicher.
>
> Mein Vorschlag ist:
>
> Sei x die Anzahl der Reinigungskräfte, dann ergeben sich
> folgende Gleichungen:
>
> [mm]x+3\equiv0[/mm] (mod 43)
> [mm]1/2*x+4\equiv0[/mm] (mod 22)
Da wir im Bereich der ganzen Zahlen unterwegs sind,
schreibe diese Gleichung lieber so:
[mm]x+8 \equiv 0 \ \operatorname{(mod \ 22)}[/mm]
> [mm]3*x+19\equiv0[/mm] (mod 131)
>
> Kongruent 0 deshalb, weil ja angegeben wird, wieviele
> Reinigungskräfte ins Stadion genau "reinpassen" in
> Abhängigkeit von x.
>
> Um den Chin.Restsatz anzuwenden habe ich versucht das obige
> GL umzuformen:
>
> [mm]x\equiv40[/mm] (mod 43)
> [mm]x\equiv9[/mm] (mod 22)
> [mm]x\equiv[/mm] 1/3*112 (mod 131)????
>
> Letzte Zeile liese sich so dann aber nicht mehr lösen.
Um die letzte Zeile zu lösen benötigst Du das
multiplikativ Inverse von 3 bezüglich des Moduls 131.
Dann steht da:
[mm]x\equiv 3^{-1}*112 \ \operatorname{(mod \ 131)}[/mm]
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben oder sagen, ob der Ansatz
> so gehen würde?
Mit den Korrekturen geht der Ansatz so.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Sa 06.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Super, danke, den Schupser habe ich gebraucht!
[mm] \frac{1}{2}*x+4\equiv [/mm] 0 (22) lässt sich zu [mm] x\equiv [/mm] -8 (22) .
[mm] 3*x+19\equiv0 [/mm] (131) lässt sich wie folgt umformen:
Suche Multilikatives Inverses a zu 3 (mod 131), d. h. die Gleichung
[mm] 3*a\equiv [/mm] 1 (mod 131) muss erfüllt sein.
Aus dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus (mit ggT(131,3)) ergibt sich dann a=44.
Daraus ergibt sich:
[mm] 3*x+19\equiv0 [/mm] (131) = [mm] 3*x\equiv-19 (131)=x\equiv44*112 (131)=x\equiv [/mm] 81 (131)
Das heißt man erhält nun:
[mm] x\equiv [/mm] 40 (43)
[mm] x\equiv [/mm] 14 (22)
[mm] x\equiv [/mm] 81 (131)
Wer an dem Rechenweg interessiert ist verfahre wie hier:
http://www.mathepedia.de/Chinesischer_Restsatz.aspx
Die Lösung lautet 212 Mitarbeiter.
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