Chinesischer Restsatz? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Blubie |
Hallo, ich bin auf Folgendes hier im Forum gestoßen: https://matheraum.de/forum/chinesischer_restsatz/t795816
Kann mir jemand erklären, wie man hier mit dem Chinesischen Restsatz argumentiert? Zunächst einmal ist dieser ja nur für lineare Kongruenzen formuliert. Wie funktioniert hier der Sprung auf Polynome und wie kommt man dazu, die Anzahl der Lösungen zu multiplizieren?
Grüße
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Hallo blubie,
> Hallo, ich bin auf Folgendes hier im Forum gestoßen:
> https://matheraum.de/forum/chinesischer_restsatz/t795816
> Kann mir jemand erklären, wie man hier mit dem
> Chinesischen Restsatz argumentiert? Zunächst einmal ist
> dieser ja nur für lineare Kongruenzen formuliert.
Häh? Der chin. Restsatz wie man ihn gemeinhin formuliert hat erstmal gar nichts mit linaren Kongruenzen zu tun:
Sind n,m teilerfremde natürliche Zahlen so gilt:
[mm] $\mathbb [/mm] Z/mn [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \cong \mathbb [/mm] Z/m [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \times \mathbb [/mm] Z/n [mm] \mathbb [/mm] Z$
(es gibt auch noch allgemeinere Formulierungen)
oder:
ist $ [mm] n=p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ [/mm] so ist:
$ [mm] \mathbb [/mm] Z/n [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \cong \mathbb [/mm] Z [mm] /p_1^{e_1}\mathbb [/mm] Z [mm] \times \ldots \times \mathbb [/mm] Z/ [mm] p_k^{e_k}\mathbb [/mm] Z$
> Wie funktioniert hier der Sprung auf Polynome und wie kommt man
> dazu, die Anzahl der Lösungen zu multiplizieren?
Lösungen einer Gleichungen modulo n müssen auch Lösungen modulo p sein, für jeden Primteiler p von n. In einem Körper ist das Finden von Lösungen (und das zeigen, dass es alle sind) deutlich einfacher.
(die Sache wird etwas unangenehmer bei Primzahlpotenzen)
Mit dem chin. Restsatz gilt also:
Anz. Lösungen modulo n = Anz. Lösungen mod [mm] $p_1^{e_k}$*...* [/mm] Anz. Lösungen mod [mm] $p_k^{e_k}$
[/mm]
Denn man kann jede Lösung x mod identifizieren mit genau einem [mm] $(x_1, \ldots [/mm] , [mm] x_k)$ [/mm] wobei [mm] $x\equiv x_i \mod p_i^{e_i}$ [/mm] wieder eine Lösung mod [mm] $p_i^{e_i}$ [/mm] ist.
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Blubie |
So wie ich ihn gelernt habe betrachtet man lineare kongruenzen und so wie er im Wikipedia-Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Chinesischer_Restsatz gleich unter simultane kongruenz beschrieben wird auch. kannst du mir erklären, wie man von x [mm] \equiv [/mm] a (mod n) zu f(x) [mm] \equiv [/mm] a (mod n) kommt?
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Hallo,
> So wie ich ihn gelernt habe betrachtet man lineare
> kongruenzen und so wie er im Wikipedia-Artikel
> http://de.wikipedia.org/wiki/Chinesischer_Restsatz gleich
> unter simultane kongruenz beschrieben wird auch.
Wikipedia ist nicht der Weisheit letzter Schluß. Außerdem kann man ja auch noch was dazulernen oder?
Wie hast du denn den chin. Restsatz gelernt?
> kannst du
> mir erklären, wie man von x [mm]\equiv[/mm] a (mod n) zu f(x)
> [mm]\equiv[/mm] a (mod n) kommt?
Was ist hier f? Was sollen diese beiden Gleichungen miteinander zu tun haben.
P.S. In deiner Frage https://matheraum.de/read?t=971047 steht im zitierten Buch im selben Beweis zu deiner Frage etwas das den chin. Restsatz in obiger Version anwendet. Hast du dich nicht da schon massiv gewundert?
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