Chiquadrat-Verteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Mi 25.08.2010 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage:
Sind [mm] X_1 [/mm] , [mm] X_2, [/mm] ... , [mm] X_n [/mm] stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung [mm] N(\mu [/mm] , [mm] \sigma^2), [/mm] dann ist
T := [mm] \summe_{i=1}^{n}(X_i [/mm] - [mm] \overline{X})^2/\sigma^2 [/mm] eine Chiquadrat-verteilte Zufallsgrösse. |
Ich habe gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll.
Geht es darum, dass ich zeige, dass T dieselbe Dichtefunktion besitzt wie eine Chiquadrat-verteilte Zufallsvariable?
Die Dichte einer Chiquadrat-verteilten Zufallsvariable ist ja bekannt.
Dann könnte ich die Verteilungsfunktion von T hinschreiben, diese ableiten und so die Dichtefunktion von T erhalten. Wäre das eine Idee?
Aber das sieht ein bisschen mühsam aus. Muss ich da anders vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie folgende Aussage:
>
> Sind [mm]X_1[/mm] , [mm]X_2,[/mm] ... , [mm]X_n[/mm] stochastisch unabhängige
> Zufallsvariablen mit Verteilung [mm]N(\mu[/mm] , [mm]\sigma^2),[/mm] dann ist
>
> T := [mm]\summe_{i=1}^{n}(X_i[/mm] - [mm]\overline{X})^2/\sigma^2[/mm] eine
> Chiquadrat-verteilte Zufallsgrösse.
Ist [mm] $\overline{X} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$? [/mm] Oder ist [mm] $\overline{X} [/mm] = [mm] E(X_i) [/mm] = [mm] \mu$?
[/mm]
Ich tippe spontan auf zweiteres... Aber warum schreibst du dann nicht gleich [mm] $\mu$?
[/mm]
> Ich habe gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich bei
> dieser Aufgabe vorgehen soll.
> Geht es darum, dass ich zeige, dass T dieselbe
> Dichtefunktion besitzt wie eine Chiquadrat-verteilte
> Zufallsvariable?
Ja. Oder alternativ: die gleiche Verteilungsfunktion.
> Die Dichte einer Chiquadrat-verteilten Zufallsvariable ist
> ja bekannt.
>
> Dann könnte ich die Verteilungsfunktion von T
> hinschreiben, diese ableiten und so die Dichtefunktion von
> T erhalten. Wäre das eine Idee?
Ja.
> Aber das sieht ein bisschen mühsam aus. Muss ich da
> anders vorgehen?
Nun, beachte dass [mm] $\frac{X_i - E(X_i)}{\sigma}$ [/mm] Erwartungswert 0 und Varianz 1 hat. Und es ist normalverteilt. Also kannst du alternativ [mm] $\sum_{i=1}^n Z_i^2$ [/mm] betrachten mit $n$ standardnormalverteilten unabhaengigen Zufallsvariablen [mm] $Z_1, \dots, Z_n$. [/mm] Das duerfte das ganze etwas einfacher machen.
Und, noch ein Tipp: zeige es per Induktion.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mi 25.08.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Felix
> Ist [mm]\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i[/mm]? Oder ist [mm]\overline{X} = E(X_i) = \mu[/mm]?
>
> Ich tippe spontan auf zweiteres... Aber warum schreibst du
> dann nicht gleich [mm]\mu[/mm]?
Es ist bestimmt [mm]\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i[/mm] gemeint. Es geht um die ![[]](/images/popup.gif) Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Mi 25.08.2010 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Danke für den post.
Ja genau, es ist [mm] \overline{X} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i [/mm] gemeint.
Mit hilfe des Links gehts dann ganz einfach.
LG johnny11
> Moin Felix
>
>
> > Ist [mm]\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i[/mm]? Oder ist
> [mm]\overline{X} = E(X_i) = \mu[/mm]?
> >
> > Ich tippe spontan auf zweiteres... Aber warum schreibst du
> > dann nicht gleich [mm]\mu[/mm]?
>
> Es ist bestimmt [mm]\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i[/mm]
> gemeint. Es geht um die
> Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz.
>
> vg Luis
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