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Forum "Uni-Stochastik" - Cholesky Zerlegung
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Cholesky Zerlegung: Cholesky
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket

Danke
        
Bezug
Cholesky Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Mi 10.06.2009
Autor: luis52

Moin Mario,
>  
> Ich will korrelierte Zufallszahlen erzeugen. Dafür erzuege
> ich in einem erste Schritt zwei normalverteilte
> zufallszahlenvariablen R1 und R2 mit n =1000 jweils.

Was fuer normalverteilte Zufallsvariablen? Standardnormalverteilte?

>  
> Dann bediene ich mich der Cholesky zerlegung um korrelation
> rho zwischen R1 und R2 zu erzeugen
>  
> Dann habe ich
>  
> [mm]R2*=R1*rho+Wurzel(1-rho^2)*R2[/mm]

Was heisst das hier?

[mm]R_2^\ast=R_1\cdot\rho+\sqrt{1-\rho^2}\cdot R_2[/mm]?

>  
> Zwischen R2+ und R1 ist smit ja die Korrelation rho.

Was ist R2+?

> Das problem ist das ich nicht wie erwartet weiterhin mean werte
> 120 und 120 habe sonder 120 und von R2* 160. Ich brauche
> aber unveränderte Meanwerte. Wie kriege ich dass denn hin?
> Oder mache ich hier einen Dnekfehler?

Vor allem machst du viele Schreibfehler. Bitte etwas mehr Sorgfalt bei der Formulierung von Fragen.

vg Luis

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Cholesky Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket


Bezug
                        
Bezug
Cholesky Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Mi 10.06.2009
Autor: luis52


>  

[verwirrt]


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Bezug
Cholesky Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket

Tut mir leid ich durchblicke noch nicht ganz das Forum. Ich bitte dies zu entschuldigen..... und verspreche besserung. Hier nochmal ein Versuch:

Ich erzeuge normalverteilte Zufallsvariablen (mit Std=40 und mean=120) R1 und R2. für jede variable erzeuge ich jeweils 1000 Ausprägungen

Über Cholesky erzeuge ich nun R2neu die zu R1 korreliert sind! Mit folgender Formel

Wobei rho die Korrelation ist

Damit habe ich jetzt  R1 mit n=1000 und R2neu mit n=1000 die korreliert sind. Berechne ich jetzt den Mittelwert(mean) von R2neu, so hat sich dieser aber verändert auf 160 von 120. Das muss ich irgendwie vermeiden

Kannst du mir vielleicht weiterhelfen und sagen wo mein Denkfehler liegt? > >  

>
> [verwirrt]
>  

Bezug
                                        
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Cholesky Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket



Ich erzeuge normalverteilte Zufallsvariablen (mit Std=40 und mean=120) R1 und R2. für jede variable erzeuge ich jeweils 1000 Ausprägungen

Über Cholesky erzeuge ich nun R2neu die zu R1 korreliert sind! Mit folgender Formel

Wobei rho die Korrelation ist

Damit habe ich jetzt  R1 mit n=1000 und R2neu mit n=1000 die korreliert sind. Berechne ich jetzt den Mittelwert(mean) von R2neu, so hat sich dieser aber verändert auf 160 von 120. Das muss ich irgendwie vermeiden

Kannst du mir vielleicht weiterhelfen und sagen wo mein Denkfehler liegt?

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Cholesky Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Mi 10.06.2009
Autor: Sigma

Kannst du bitte mal die Korrelation posten mit der du gerechnet hast und die Varianz des zweiten Zufallsvektors nach der Korrelation.

Dann kann ich dir vielleicht helfen.

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Cholesky Zerlegung: Przisierung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket

Ja natürlich

die standardabweichung ist in beiden fällen 40.

Die korrelation 0.8

Wäre super wenn du helfen könntest

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Cholesky Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mi 10.06.2009
Autor: Sigma

Hallo, hier mal meine Überlegung.

[mm] X\sim [/mm] N(120,40)   [mm] Y\sim [/mm] N(120,40)

[mm] \rho=0.8 [/mm]

[mm] Z=\rho*X+\wurzel{1-\rho^2}*Y [/mm]

Erwartungswert:

[mm] E(Z)=\rho*E(X)+\wurzel{1-\rho^2}*E(Y)=168 [/mm]

Varianz:

[mm] V(Z)=\rho^2*V(X)+(1-\rho^2)*V(Y)=40 [/mm]

Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz siehe Wikipedia.
Du musst nur den Erwartungswert der zweiten zufallsvariable so anpassen das für E(Z)=120 raus kommt.

gruß sigma

Bezug
                                                        
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Cholesky Zerlegung: Dankeschön
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket

Vielen Dank Sigma!

ok super. Den Erwartungswert anpassen, wie gehe ich da vor. Nehme ich einfach die Differenz von 168 und 120 und ziehe diese differenz von den neu generierten Zufallszahlen ab? D.h. ich ziehe 48 von jeder ZUfallszahl ab?

Beste Grüße,
Marc

> Hallo, hier mal meine Überlegung.
>  
> [mm]X\sim[/mm] N(120,40)   [mm]Y\sim[/mm] N(120,40)
>  
> [mm]\rho=0.8[/mm]
>  
> [mm]Z=\rho*X+\wurzel{1-\rho^2}*Y[/mm]
>  
> Erwartungswert:
>  
> [mm]E(Z)=\rho*E(X)+\wurzel{1-\rho^2}*E(Y)=168[/mm]
>  
> Varianz:
>  
> [mm]V(Z)=\rho^2*V(X)+(1-\rho^2)*V(Y)=40[/mm]
>  
> Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz siehe
> Wikipedia.
>  Du musst nur den Erwartungswert der zweiten
> zufallsvariable so anpassen das für E(Z)=120 raus kommt.
>  
> gruß sigma

Bezug
                                                                
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Cholesky Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mi 10.06.2009
Autor: Sigma

Gleichungssystem lösen

$ [mm] E(Z)=\rho\cdot{}E(X)+\wurzel{1-\rho^2}\cdot{}E(Y)=120 [/mm] $

Werte einsetzen:

$ [mm] E(Z)=0.8*120+\wurzel{1-0.8^2}\cdot{}E(Y)=120 [/mm] $
$ [mm] E(Z)=0.8*120+0.6\cdot{}E(Y)=120 [/mm] $

Nach E(Y) auflösen.
Fertig.

Bezug
                                                                        
Bezug
Cholesky Zerlegung: Fragezurantwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket

Leider muss ich nochmal nachhacken, ich hoffe du hilfst nochmal. Ich muss leider nicht nur den Erwartungswert sondern jede einzelne generierte Ausprägung von R2neu so verändern das insgesamt der Erwartungswert[R2neu]=120 wieder wird

ich generiere also erstmal jede einzelne Ausprägung von der neuen korrelierten Zufallsvariable R2neu(n) mit n=1000 mit der CHolseky gleichung

[mm] R2neu=R1*rho+R2*wurzel(1-rho^2) [/mm]

Das mache ich 1000 mal und habe somit 1000 R2neu ausprägungen die zu R1 korreliert sind. ALlerdings hat R2neu jetzt den Mittelwert 180 und nicht mehr 120. Kann ich einfach ( bei wikipedia  E(Z+d)=E(Z)+d) . lineare transf) von jeder ausprägung R2neu 48 abziehen um 1000 Ausprägungen von R2neu zu bekommen die wieder den mittelwert 120 haben?


Wäre sehr sehr hilfreich wenn du antworten könntest!



> Gleichungssystem lösen
>  
> [mm]E(Z)=\rho\cdot{}E(X)+\wurzel{1-\rho^2}\cdot{}E(Y)=120[/mm]
>  
> Werte einsetzen:
>  
> [mm]E(Z)=0.8*120+\wurzel{1-0.8^2}\cdot{}E(Y)=120[/mm]
>  [mm]E(Z)=0.8*120+0.6\cdot{}E(Y)=120[/mm]
>  
> Nach E(Y) auflösen.
>  Fertig.

Bezug
                                                                                
Bezug
Cholesky Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mi 10.06.2009
Autor: Sigma

Hallo,

das kannst du denke ich so machen. Aber das wäre mehr Rechenaufwand als bei meiner Methode, wo du die 2. Normalverteilung mit N(40,40) annimmst.

gruß sigma10

Bezug
                                                                        
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Cholesky Zerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:47 Mi 10.06.2009
Autor: Tbasket

Das gleiche dann auch noch nach Varianz (Y) auflösen um die entsprechende Varianz zu bekommen oder?


Besten besten Dank!

Bezug
                                                                                
Bezug
Cholesky Zerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 12.06.2009
Autor: matux

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