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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - C^k-Funktionen
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C^k-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Di 11.10.2016
Autor: UniversellesObjekt

Aufgabe
Sei [mm] $f\colon\IR^m\longrightarrow\IR$ [/mm] eine [mm] $C^k$-Funktion. [/mm] Dann ist auch [mm] $g(u)=\int_0^1 [/mm] f(tu)dt$ eine [mm] $C^k$-Funktion. [/mm]


Hallo,

wenn man Analysis kann, ist das sicherlich offensichtlich. Für mich aber nicht. Kann mir jemand sagen, wieso das gilt?

Liebe Grüße,
UniverselesObjekt

        
Bezug
C^k-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Di 11.10.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]f\colon\IR^m\longrightarrow\IR[/mm] eine [mm]C^k[/mm]-Funktion. Dann
> ist auch [mm]g(u)=\int_0^1 f(tu)dt[/mm] eine [mm]C^k[/mm]-Funktion.
>  
> Hallo,
>  
> wenn man Analysis kann, ist das sicherlich offensichtlich.
> Für mich aber nicht. Kann mir jemand sagen, wieso das
> gilt?

Google mal nach "Parameterintegral". Dann siehst Du, dass z.B. gilt

(*) [mm] \bruch{\partial g}{\partial u_j}(u)=\int_0^1 \bruch{\partial }{\partial u_j}[f(tu)]dt. [/mm]

Partielle Differentiation und Integration dürfen also vertauscht werden.

Aus (*) sieht man: g ist stetig differenzierbar. Den Rest erledigt man induktiv.


>  
> Liebe Grüße,
>  UniverselesObjekt


Bezug
                
Bezug
C^k-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Di 11.10.2016
Autor: UniversellesObjekt

Ah, vielen Dank!

Und [mm] $\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)]$ [/mm] ist [mm] $t\cdot\frac{\partial f}{\partial u_i}(tu)$, [/mm] oder? Deshalb ist [mm] $t\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)]$ [/mm] stetig und das Integral hinschreibbar. Aber ich sehe für beide Darstellungen nicht sofort den Induktionsschritt. Tut mir Leid, falls ich mich echt dämlich anstelle.

Ist diese Formel (*) denn ganz leicht einzusehen, oder ist das ein richtiger Satz, den man in Analysis lernt?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                        
Bezug
C^k-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Di 11.10.2016
Autor: fred97


> Ah, vielen Dank!
>  
> Und [mm]\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] ist
> [mm]t\cdot\frac{\partial f}{\partial u_i}(tu)[/mm], oder?

Ja.



> Deshalb
> ist [mm]t\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] stetig
> und das Integral hinschreibbar.


Hinschreiben kann man viel ...  Für jedes $u [mm] \in \IR^m$ [/mm] hängt [mm] \frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)] [/mm] stetig von $t$ ab, somit ist  [mm]t\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm]  integrierbar über $[0,1]$.



> Aber ich sehe für beide
> Darstellungen nicht sofort den Induktionsschritt. Tut mir
> Leid, falls ich mich echt dämlich anstelle.

Ist z.B. $f$ eine [mm] C^2 [/mm] - Funktion, so ist, für jedes feste  $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ die Funktion [mm]u\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] aus der Klasse [mm] C^1. [/mm] Somit kannst Du die Funktion

  [mm] $u\longmapsto \int_0^1 \bruch{\partial }{\partial u_j}[f(tu)]dt$ [/mm]

wieder partiell differenzieren, z.B. nach [mm] u_k. [/mm] Heraus kommt:

   [mm] \int_0^1 \bruch{\partial^2 }{\partial u_k \partial u_j}[f(tu)]dt [/mm]

und die ist gerade [mm] \bruch{\partial^2 g }{\partial u_k \partial u_j}. [/mm] Da $f$ eine [mm] C^2 [/mm] - Funktion ist, ist auch g 2-mal stetig differenzierbar, .... etc.


  

>  
> Ist diese Formel (*) denn ganz leicht einzusehen, oder ist
> das ein richtiger Satz, den man in Analysis lernt?

Falsch ist der Satz nicht. Spass beiseite: das ist ein Satz den man in der Analysis lernt.


>  
> Liebe Grüße,
>  UniversellesObjekt


Bezug
                                
Bezug
C^k-Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Di 11.10.2016
Autor: UniversellesObjekt

Danke. Jetzt kann ich wieder Algebra machen^^

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
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