Ck Rand einer Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe
Seien D $ [mm] \subset [/mm] $ R hoch n eine offene Menge mit C hoch k Rand, $ [mm] 1\le k\le\infty [/mm] $ und U,r wie oben. Zeigen Sie:
$ [mm] U\cap \partial [/mm] $ D = $ [mm] \{x \in U | r(x)=0\} [/mm] $ und
U $ [mm] \cap [/mm] $ (R hoch n ohne D Abschluss) = $ [mm] \{x \in U | r(x)>0 \}. [/mm] $ |
Hey,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht so recht weiter... kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 21.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe
> Seien D [mm]\subset[/mm] R hoch n eine offene Menge mit C hoch k
> Rand, [mm]1\le k\le\infty[/mm] und U,r wie oben. Zeigen Sie:
>
> [mm]U\cap \partial[/mm] D = [mm]\{x \in U | r(x)=0\}[/mm] und
> U [mm]\cap[/mm] (R hoch n ohne D Abschluss) = [mm]\{x \in U | r(x)>0 \}.[/mm]
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> Hey,
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> ich komme mit dieser Aufgabe nicht so recht weiter... kann
> mir jemand helfen?
Nur wenn Du sagst wo oben ist
FRED
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Ich weiß, was es heißt dass D einen C hoch k Rand hat. Nämlich: falls zu jedem Punkt $ [mm] p\in \partial [/mm] $ D eine offene Umgebung U und eine Funktion r $ [mm] \in [/mm] $ C hoch k (U) exisiteren mit $ [mm] U\cap [/mm] D $ = $ [mm] \{x \in U | r(x)<0 \} [/mm] $ und grad f(x) $ [mm] \not= [/mm] $ 0 für alle x $ [mm] \in [/mm] $ U.
Und dabei ist jetzt gemeint, dass U und r genau so definiert sind, wie in dieser Angabe ;) das meinte ich mir oben, hatte nur vergessen, den Zusatz hinzuzufügen.
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Tja ;) jetzt hab ich geschrieben, was mit oben gemeint ist ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 22.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]U\cap \partial[/mm] D = [mm]\{x \in U | r(x)=0\}[/mm] und
1. Für alle Elemente in der Menge [m]U\cap \partial U[/m] gilt [m]r(x)\ge 0[/m]. Weiterhin muss dies gleich 0 sein, da man für jedes Element x eine Folge findet, die gegen das x konvergiert - und dann noch die Stetigkeit von r ausnutzt, um [m]r(x)\le 0[/m] zu zeigen.
2. Es gibt wegen [m]grad(r)\noteq 0[/m] gibt es keinen Punkt y mit [m]r(y)=0[/m], aber [m]r\ge 0[/m] oder [m]r\le 0[/m] in einer Umgebung von y. Daher hat jedes Element in obiger Menge in jeder Umgebung Elemente aus D und aus dem Komplement, liegt also im Rand von D.
> U [mm]\cap[/mm] (R hoch n ohne D Abschluss) = [mm]\{x \in U | r(x)>0 \}.[/mm]
Folgt aus der Def. von [m](U,r)[/m] und obigem sofort.
SEcki
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Hey,
ich danke dir herzlich. Ich habs sogar super verstanden ;) danke.
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