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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 30.05.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Folgende Clairaut´sche DGL ist zu lösen:
y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4} [/mm] |
Hallo!
Ich probiere mich gerade an dieser Aufgabe aber komme seit einiger Zeit nicht weiter.
Also die Clairaut´sche DGL hat die folgende Form:
y = xy' + f(y') wobei g stetig differenzierbar sein muss
Gut die 3-te Wurzel ist differenzierbar und danach überall stetig
also der erste Schritt ist nun die ganze Gleichung nach x abzuleiten
y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4}
[/mm]
y' = y'' x + y' + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}
[/mm]
jetzt soll die gleichung folgende Form haben:
y' = y' + xy'' + f'(y') y'' => y'' (x + f'(y')) = 0
y' soll man nun mit einer variablen S ersetzen
also
S' (x + f'(S)) = 0
umgelegt auf meine Aufgabe
y' = y'' x + y' + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}
[/mm]
y'' x + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}} [/mm] = 0
S = y'
y'' * (x + [mm] \bruch{1 y'}{2 * (8 + y'^2)^{1/4}}) [/mm] = 0
S' * (x + [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}) [/mm] = 0
damit bekommt man 2 Lösungen
S' = 0
und
S = c
=> y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4}
[/mm]
= y = xc + (8 + [mm] c^2)^{1/4} [/mm] wobei c [mm] \in \IR
[/mm]
zweite Lösung:
x + [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}} [/mm] = 0
=>
x = - [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}} [/mm]
einsetzen in die Angabe
y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4}
[/mm]
y = - [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}} [/mm] * S + (8 + [mm] S^2)^{1/4}
[/mm]
aber genau hier stehe ich an, ich weiß nämlich nicht ob mein vorgehen korrekt ist. vielen dank für jeden Tipp
lg
Babapapa
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Hallo,
> Folgende Clairaut´sche DGL ist zu lösen:
>
> y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich probiere mich gerade an dieser Aufgabe aber komme seit
> einiger Zeit nicht weiter.
>
> Also die Clairaut´sche DGL hat die folgende Form:
>
> y = xy' + f(y') wobei g stetig differenzierbar sein muss
> Gut die 3-te Wurzel ist differenzierbar und danach
> überall stetig
>
> also der erste Schritt ist nun die ganze Gleichung nach x
> abzuleiten
>
> y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
> y' = y'' x + y' + [mm]\bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}[/mm]
Ist die 4. Wurzel richtig abgeleitet? Ist es nicht:
$y' = y'' x + y' + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{3/4}}$
[/mm]
> jetzt soll die gleichung folgende Form haben:
>
> y' = y' + xy'' + f'(y') y'' => y'' (x + f'(y')) = 0
>
> y' soll man nun mit einer variablen S ersetzen
> also
> S' (x + f'(S)) = 0
>
> umgelegt auf meine Aufgabe
>
> y' = y'' x + y' + [mm]\bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}[/mm]
>
> y'' x + [mm]\bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}[/mm] = 0
> S = y'
>
> y'' * (x + [mm]\bruch{1 y'}{2 * (8 + y'^2)^{1/4}})[/mm] = 0
> S' * (x + [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}})[/mm] = 0
>
> damit bekommt man 2 Lösungen
> S' = 0
> und
> S = c
> => y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
> = y = xc + (8 + [mm]c^2)^{1/4}[/mm] wobei c [mm]\in \IR[/mm]
>
> zweite Lösung:
>
> x + [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}[/mm] = 0
> =>
> x = - [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}[/mm]
> einsetzen in die Angabe
>
> y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
> y = - [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}[/mm] * S + (8 +
> [mm]S^2)^{1/4}[/mm]
>
> aber genau hier stehe ich an, ich weiß nämlich nicht ob
> mein vorgehen korrekt ist. vielen dank für jeden Tipp
Abgesehen von der Ableitung der Wurzel habe ich das auch heraus.
$x = [mm] -\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{3/4}}$
[/mm]
$y = [mm] -\bruch{S^2}{2 * (8 + S^2)^{3/4}} [/mm] + (8 + [mm] S^2)^{1/4}$
[/mm]
als Parametergleichungen.
> lg
> Babapapa
>
LG, Martinius
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