matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenCobb-Douglas-Funktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Cobb-Douglas-Funktion
Cobb-Douglas-Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cobb-Douglas-Funktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:01 Fr 23.08.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Ein Funktion mit konstanter Elastizität

[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = c, x > 0, c [mm] \in \IR, [/mm]

wird in der Wirtschaftsmathematik als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet. Was ist die allgemeinste Form einer Cobb-Douglas-Funktion?

Die Lösung lautet f(x) = A [mm] x^c. [/mm]

Wenn ich die Differentialgleichung löse komme ich auf

f(x) = [mm] \bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} ln(x)^c. [/mm]

Mir leuchtet ein, dass [mm] \bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} [/mm] eine Konstante (K) ist, also

f(x) = K [mm] ln(x)^c [/mm]

Aber um auf die Lösung zu kommen, müsste es doch eine weitere Konstante (C) geben, sodass

[mm] ln(x)^c [/mm] = C [mm] x^c [/mm]

Wie soll das gehen? Versteht ihr mein Problem?

Danke und Gruß

Martin

        
Bezug
Cobb-Douglas-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Fr 23.08.2019
Autor: fred97


> Ein Funktion mit konstanter Elastizität
>  
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] = c, x > 0, c [mm]\in \IR,[/mm]
>  
> wird in der Wirtschaftsmathematik als Cobb-Douglas-Funktion
> bezeichnet. Was ist die allgemeinste Form einer
> Cobb-Douglas-Funktion?
>  Die Lösung lautet f(x) = A [mm]x^c.[/mm]

Das stimmt nicht. Denn ist [mm] $f(x)=Ax^c$, [/mm] so ist [mm] $f'(x)=cAx^{c-1}$, [/mm] also

  [mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}= \frac{c}{x}.$ [/mm]

____________________________

Die DGL  [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}=c[/mm]  kann man auch so schreiben:

  $f'(x)=cf(x)$.

Das ist eine lineare, homogene DGL erster Ordnung und hat die allgemeine Lösung

  [mm] $f(x)=Ae^{cx}$, [/mm]

wobei $A$ eine reelle Konstante ist.


>  
> Wenn ich die Differentialgleichung löse komme ich auf
>  
> f(x) = [mm]\bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} ln(x)^c.[/mm]
>  
> Mir leuchtet ein, dass [mm]\bruch{f(x_0)}{ln(x_0)}[/mm] eine
> Konstante (K) ist, also
>  
> f(x) = K [mm]ln(x)^c[/mm]
>  
> Aber um auf die Lösung zu kommen, müsste es doch eine
> weitere Konstante (C) geben, sodass
>  
> [mm]ln(x)^c[/mm] = C [mm]x^c[/mm]
>  
> Wie soll das gehen? Versteht ihr mein Problem?
>  
> Danke und Gruß
>  
> Martin


Bezug
                
Bezug
Cobb-Douglas-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Fr 23.08.2019
Autor: sancho1980

Sorry, aber mir ist beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.
Es muss heißen:

[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] x = c

Bezug
                        
Bezug
Cobb-Douglas-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Fr 23.08.2019
Autor: fred97


> Sorry, aber mir ist beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.
>  Es muss heißen:
>  
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] x = c

Diese DGL kannst Du mit "Trennung der Veränderlichen" lösen: ich schreibe y=f(x), dann bekimmen wir

$ [mm] \frac{dy}{y}=c \frac{1}{x} [/mm] dx.$

Integration liefert

$ [mm] \ln [/mm] (y)= c [mm] \ln [/mm] (x)+d.$

Und somit

$f(x)= y(x)= [mm] e^{c \ln (x)} e^d= e^{\ln(x^c)} e^d=e^d x^c=Ax^c,$ [/mm]

wobei [mm] $A:=e^d.$ [/mm]


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]