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Cola-Dose: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Di 05.12.2006
Autor: Dr.Sinus

Aufgabe
Eine Cola-Dose hat annähernd die Form eines Zylinders.
V=0.33l.
Welche Maße muss sie haben, dass bei diesem Volumen die Oberfläche minimal ist!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo!

V (Zylinder)= [mm] r²*\pi*h [/mm]
O (Zylinder)= [mm] 2r²\pi*h+2r*\pi*h [/mm]
F(r)=min

h=330 cm³/ [mm] (\pi*r²) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F(r)= 2*r²*(330 cm³/ [mm] (\pi*r²))+ 2*r*\pi*(330 [/mm] cm³/ [mm] (\pi*r²)) [/mm]

F(r)= 2 [mm] r^{4}*\pi²*330+2r³*\pi²*330\Rightarrow [/mm] geht das?
F'(r)= 8 r³*330+6r²*330
[mm] f'(r)\to [/mm] 0
r= 0
Das ist ja nicht möglich!
Könnt ihr mir bitte den Fehler finden?



        
Bezug
Cola-Dose: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Di 05.12.2006
Autor: M.Rex

Hallo

> Eine Cola-Dose hat annähernd die Form eines Zylinders.
>   V=0.33l.
>  Welche Maße muss sie haben, dass bei diesem Volumen die
> Oberfläche minimal ist!
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo!
>  
> V (Zylinder)= [mm]r²*\pi*h[/mm]
>  O (Zylinder)= [mm]2r²\pi*h+2r*\pi*h[/mm]
>  F(r)=min
>  
> h=330 cm³/ [mm](\pi*r²)[/mm]

Wenn du hier den Formeleditor anwendest, siehst du relativ schnell deinen Fehler, du hast schlicht und ergreifend den Bruchstrich übersehen.

[mm] h=\bruch{330}{\pi*r²} [/mm]

Ausserdem gilt für die Oberfläche eines Zylinders:
[mm] O(r,h)=2(\pi*r²)+2\pi*r*h [/mm]


Und das h in die Oberflächenfunktion eingesetzt ergibt:

[mm] O(r)=2\pi*r²+2*r*\pi*\bruch{330}{\pi*r²} [/mm]
[mm] =2\pi*r²+\bruch{660}{r} [/mm]

Und davon musst du jetzt den Tiefpunkt bestimmen.

Marius

Bezug
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