Collatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo zusammen !
Erstmal möchte ich mich bei allen bedanken, die sich bisher an meinen Threads beteiligten. 
Nun zu dem eigentlichen Thema (wird wohl etwas längerer Eintrag):
Definition:
Gegeben seien die Abbildungen [mm] $u:\IN\to\IN$ [/mm] und [mm] $g:\IN\to\IN$, [/mm] mit
$u(n):=3n+1$ und [mm] $g(n)=\frac{n}{2}$.
[/mm]
Nehmen wir nun eine beliebige Zahl [mm] $k_0\in\IN$.
[/mm]
* Falls [mm] $k_0$ [/mm] gerade, bilde [mm] $g(k_0)=\frac{k_0}{2}=k_1$.
[/mm]
* Falls [mm] $k_0$ [/mm] ungerade, bilde [mm] $u(k_0)=3\cdot k_0 +1=k_1$.
[/mm]
Es folgt dann, [mm] $g(k_1)=k_2$, [/mm] falls [mm] $k_1$ [/mm] gerade und [mm] $u(k_1)=k_2$, [/mm] falls [mm] $k_1$ [/mm] ungerade. Allgemein also [mm] $g(k_i)=k_{i+1}$, [/mm] falls [mm] $k_i$ [/mm] gerade und [mm] $u(k_i)=k_{i+1}$, [/mm] falls [mm] $k_i$ [/mm] ungerade.
Diese iterative Abbildungsvorschrift ist die sogenannte Collatz-Folge.
Vermutung:
Für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] endet die Collatz-Folge bei Eins (bzw. der Zahlenschleife 4-2-1-4-2-1-.....)
Beispiel: [mm] $k_0=3$
[/mm]
Es ist [mm] $k_0$ [/mm] ungerade, folgt also [mm] $u(k_0)=3k_0+1=3\cdot 3+1=10=k_1$.
[/mm]
Nun ist [mm] $k_1$ [/mm] gerade, also [mm] $g(k_1)=\frac{k_1}{2}=\frac{10}{2}=5=k_2$.
[/mm]
Damit, da [mm] $k_2$ [/mm] ungerade, folgt [mm] $u(k_2)=3k_2+1=3\cdot 5+1=16=k_3$.
[/mm]
Da [mm] $k_3=16\in\{2^n\}_{n\in\IN}$ [/mm] folgt somit die Vermutung für [mm] $k_0=3$.
[/mm]
_________________________________________________
Soviel zur Abbildungsvorschrift und Vermutung !
Es sei eine Abbildung [mm] $N:\IN\times\IN\to\IN$, [/mm] mit [mm] $N(m,n)=2^m(2n+1)$ [/mm] gegeben.
Behauptung: $N$ ist bijektiv (Beweis selbst)
Es gilt:
* $N(m,n)$ ist gerade, falls $m>0$
* $N(0,n)$ ist ungerade, für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
* [mm] $N(m,0)\in\{2^n\}_{n\in\IN}$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm]
* $N(0,0)=1$
Aufgrund der Abbildung $N$ ist ersichtlich, dass alle geraden Zahlen bei einer ungeraden Zahl landen, sobald sie in die Collatz-Iteration eingesetzt werden.
Denn, sei [mm] $k=N(m,n)\in\IN$ [/mm] mit $m>0$ gegeben, dann folgt mit Collatz nach $m$ Durchläufen $N(0,n)$. Falls dann $n=0$, sind die Durchläufe somit zu Ende. Es gilt also $N(m,n)>N(0,n)$.
Damit wäre gezeigt, dass für die Untersuchung der Collatz-Folge die Betrachtung der ungeraden Zahlen ausreicht.
Sei also $k=N(0,n)$ eine beliebige ungerade Zahl.
Dann folgt [mm] $n=\frac{k-1}{2}$.
[/mm]
Nun ist wiederum $n$ entweder gerade (also [mm] $n=2\cdot n_g$) [/mm] oder ungerade [mm] ($n=2\cdot n_u-1$), [/mm] was einer Fallunterscheidung bedarf:
1. Fall: $n$ gerade
[mm] $\Rightarrow n_g=\frac{k-1}{4}$
[/mm]
2. Fall: $n$ ungerade
[mm] $\Rightarrow n_u=\frac{k+1}{4}$
[/mm]
An dieser Stelle wird dann $N(0,n)$ unterschieden.
Zerlegung von $N(0,n)$ in $N(0,2p)$ und $N(0,2p-1)$.
Es gelten folgende Tatsachen (Beweis selbst):
* $N(0,2p-1)$ konvergiert in zwei Schritten zu $N(0,2p-1)+2p$
* $N(0,2p)$ konvergiert in drei Schritten zu $N(0,2p)-p$
Das heisst also, für $n=2p-1$ in $N(0,n)$ wächst die Folge nach zwei Schritten und für $n=2p$ fällt sie nach drei Schritten.
Nun meine erste Frage :
Genügt es nicht an dieser Stelle nur die ungeraden Zahlen zu betrachten, die aus einer ungeraden Zahl entstehen, da die Folge ja genau dann wächst ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Di 17.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Das genügt nicht.
Denn die Folge wächst zwar kurzfristig und erzeugt eine ungerade größere Zahl, aber über die Form dieser Zahl kann nichts ausgesagt werden und daher auch nichts über den weiteren Verlauf der Folge, die ja dann wieder gerade Zahlen enthalten kann....
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 Di 17.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !
Folgende Eigenschaft habe ich durch Programme und etliches rumprobieren herausgefunden:
Konstruktion einer Abbildung:
[mm] $p_c(n):=c+\sum_{k=1}^n (3c-1)\cdot 4^{k-1}=(c-\frac{1}{3})\cdot 4^n+\frac{1}{3}$
[/mm]
mit [mm] $c\in\IN$.
[/mm]
Es ist dann
[mm] $\{p_1(n)\}_{n\in\IN}=\{1, 3, 11, 43, 171, 683, 2731, 10923, 43691, 174763, 699051,...\}$
[/mm]
[mm] $\{p_2(n)\}_{n\in\IN}=\{2, 7, 27, 107, 427, 1707, 6827, 27307, 109227, 436907, 1747627,...\}$
[/mm]
[mm] $\{p_3(n)\}_{n\in\IN}=\{3, 11, 43, 171, 683, 2731, 10923, 43691, 174763, 699051, 2796203,...\}$
[/mm]
[mm] $\{p_4(n)\}_{n\in\IN}=\{4, 15, 59, 235, 939, 3755, 15019, 60075, 240299, 961195, 3844779,...\}$
[/mm]
usw...
Wir betrachten dann
[mm] $\{N(0,p_1(n))\}_{n\in\IN}=\{1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101,...\}$
[/mm]
[mm] $\{N(0,p_2(n))\}_{n\in\IN}=\{3, 13, 53, 213, 853, 3413, 13653, 54613, 218453, 873813, 3495253,...\}$
[/mm]
[mm] $\{N(0,p_3(n))\}_{n\in\IN}=\{5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101, 5592405,...\}$
[/mm]
[mm] $\{N(0,p_4(n))\}_{n\in\IN}=\{7, 29, 117, 469, 1877, 7509, 30037, 120149, 480597, 1922389, 7689557,...\}$
[/mm]
usw...
Zunächst fällt auf, das [mm] $\{N(0,p_1(n))\}$ [/mm] und [mm] $\{N(0,p_3(n))\}$ [/mm] bis auf die Eins identisch sind, was aber zunächst nebensächlich ist.
Konstruktion: Es sei [mm] $C^n$ [/mm] eine Vorschrift, die die $n$-malige Ausführung der Collatz-Iteration bezeichnet.
Es gilt:
[mm] $C^2(N(0,p_2(1)))=5$
[/mm]
[mm] $C^4(N(0,p_2(2)))=5$
[/mm]
[mm] $C^6(N(0,p_2(3)))=5$
[/mm]
:
Allgemein: [mm] $C^{2n}(N(0,p_2(n)))=5$, [/mm] dass heisst, jede Zahl [mm] $x\in\{N(0,p_2(n))\}_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen denselben Wert, hier demnach 5.
Weiterhin gilt:
[mm] $C^5(N(0,p_3(1)))=1$
[/mm]
[mm] $C^7(N(0,p_3(2)))=1$
[/mm]
[mm] $C^9(N(0,p_3(3)))=1$
[/mm]
:
Allgemein: [mm] $C^{2n+3}(N(0,p_3(n)))=1$, [/mm] was bedeutet, das wiederum jede Zahl [mm] $x\in\{N(0,p_3(n))\}_{n\in\IN}$ [/mm] definitiv zur Eins konvergiert.
Naja, zu guter Letzt:
[mm] $C^2(N(0,p_4(1)))=11$
[/mm]
[mm] $C^4(N(0,p_4(2)))=11$
[/mm]
[mm] $C^6(N(0,p_4(3)))=11$
[/mm]
:
Allgemein: [mm] $C^{2n}(N(0,p_3(n)))=11$, [/mm] was bedeutet, das wiederum jede Zahl [mm] $x\in\{N(0,p_4(n))\}_{n\in\IN}$ [/mm] zur 11 konvergiert.
Vermutung:
Falls $c$ gerade, konvergiert die Folge in einer geraden Anzahl von Schritten.
Falls $c$ ungerade demnach in ungeraden Schritten.
Zudem habe ich noch zwei interessante Eigenschaften herausgefunden:
(muss aber noch bewiesen werden !)
Es gilt: [mm] $2\cdot p_c(i)+N(0,p_c(i))=p_c(i+1)$.
[/mm]
Sowie:
Betrachte ich die Menge [mm] $\{N(0,2m)\}_{m\in\IN}$, [/mm] dann ist [mm] $N(0,2\cdot [/mm] 1)=5$, es folgt dann [mm] $N(0,2\cdot [/mm] 5)=21$, [mm] $N(0,2\cdot [/mm] 21)=85$,....
Also [mm] $N(0,2m)\in\{N(0,p_3(n))\}_{n\in\IN}$, [/mm] falls [mm] $m\in\{N(0,p_1(n))\}_{n\in\IN}$.
[/mm]
Hoffe auf feedback !
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mi 18.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Bzgl Notation
Dein N(0,p)=2p-1 (im ersten Beitrag jedoch 2p+1)
folgende identität gilt:
[mm] p_{4c+3}(n)=p_{c+1}(n+1) [/mm] für c [mm] \in \IN_0
[/mm]
daraus folgt auch deine letzte Behauptung, für c=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mi 18.07.2007 | | Autor: | wauwau |
auch gilt:
[mm]p_{5k+l}(n)\equiv p_{l}(n) mod(10)[/mm] für [mm] k\in \IN_0 [/mm] und [mm]l \in {1,2,3,4,5})[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo wauwau !
Vielen Dank für deine Beteiligung !
Sagt das nicht aus, dass [mm] $p_{5k+l}(n)$ [/mm] bei Teilung durch 10, den selben Rest hat wie [mm] $p_l(n)$ [/mm] ?
Kongruenzen waren noch nie meine Stärke ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") !
Gruß Mathmark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 18.07.2007 | | Autor: | wauwau |
ja genau, d.h. die letzten Ziffern stimmen überein....
es gilt sogar:
[mm]p_{5k+l}(2n+1) \equiv p_l(1) mod (10)
p_{5k+l}(2n) \equiv p_l(2) mod (10)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !
Danke für deine 10er-Kongruenz-Erklärung. Ist eigentlich einleuchtend, aber auch sehr bemerkenswert, dass zwei Zahlen Kongruent modulo 10 sind, wenn die letzte Zahl gleich ist. Sehr geil !!!
Aber mir ist wieder etwas aufgefallen:
Es gilt ja: [mm] $p_c(n):=\left(\frac{3c-1}{3}\right)\cdot 4^n+\frac{1}{3}$
[/mm]
Dann gibt $3c-1$ genau die Zahl an, gegen die [mm] $N(0,p_c(n))$ [/mm] konvergiert, und zwar nach zwei Schritten.
Soll heissen:
[mm] $C^2(N(0,p_c(n)))=3c-1$
[/mm]
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo nochmal.....
Es müsste dann doch gelten:
[mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}\{p_{p_1(i)}(n)\}_{n\in\IN}=\{p_1(n)\}_{n\in\IN}$
[/mm]
Gruß Mathmark
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 08:38 Do 19.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Gegenbeispiel
[mm] N(0,p_4(4))=1877
[/mm]
[mm] C^2(1877)>2817 [/mm] und nicht 11!!!
Es gilt aber
[mm] C^{2n+1}(N(0,p_c(n))=3c-1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Do 19.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !
Das kann aber nicht sein, denn z.B.:
[mm] $N(0,p_3(1))=5$, [/mm] demnach [mm] $C^3(N(0,p_3(1))=8$, [/mm] was aber falsch ist, denn
5,16,8,4,2,1
Also dann doch [mm] $C^2(N(0,p_3(1))=8$.
[/mm]
In Zukunft würde ich gerne die Bezeichnung Collatz-Potenz für [mm] $C^n$ [/mm] einführen. (Is immerhin kürzer als: "Anzahl der Collatz-Iteration" )
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 19.07.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] p_3(1)=11
[/mm]
daher [mm] N(0,p_3(1))=21
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Do 19.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Es ist doch aber
[mm] $p_3(1)=3$, [/mm] also [mm] $N(0,p_3(1))=5$
[/mm]
Allgemein gilt doch [mm] $p_c(1)=c$ [/mm] und [mm] $N(0,p_c(1))=N(0,c)=2c-1$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 20.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Achtung:
[mm] p_k(0)=k [/mm]
also [mm] p_3(0)=3 [/mm] !!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Sorry hab mich geirrt, mit der null !!!!
S@$% !!
Jetzt muss ich alles nochmal kurz durchdenken !!!
Gruß
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Hallo Werner !!!
Ist es nicht so, dass bis auf die Eins jede Zahl [mm] $k\in\IN$ [/mm] genau zweimal in den Mengen [mm] $\{N(0,p_c(n))\}_{n\in\IN}$ [/mm] vorkommt ?
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 19.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Servus !
Es muss heissen [mm] $C^2(N(0,p_c(1)))=3c-1$
[/mm]
Denn [mm] $\forall c\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $N(0,p_c(1))=2c-1$
[/mm]
Es folgt $C(2c-1)=3(2c-1)+1=6c-2$
und [mm] $C^2(2c-1)=\frac{6c-2}{2}=3c-1$
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 19.07.2007 | | Autor: | wauwau |
könnten wir uns auf folgendes einigen:
1. [mm] P_c(n)= N(0,p_c(n))=2*p_c(n)-1=2*\bruch{(3c-1)*4^n+1}{3}-1 [/mm] = [mm] \bruch{2*(3c-1)*4^n-1}{3}
[/mm]
2. [mm] C^p(n) [/mm] Collatz Potenz in deinem Sinne...
Dann gilt also: [mm] C(P_c(n))=2*(3c-1)*4^n
[/mm]
wo ist also mein Fehler??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Do 19.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Ja, das sieht gut aus, aber dann würde gelten
[mm] $C^{2n+2}(P_c(n))=3c-1$
[/mm]
Denn
[mm] $C^1(P_c(n))=2\cdot (3c-1)\cdot 4^n$
[/mm]
[mm] $C^2(P_c(n))=(3c-1)\cdot 4^n$
[/mm]
und da [mm] $C^{2n}(4^n)=1$ [/mm] folgt also
[mm] $C^{2n+2}(P_c(n))=3c-1$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Do 19.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Und nochmal Hallo !
Vermutung:
[mm] $C^{2n+p_1(k)}(N(0,p_{p_1(k)}(n)))=1$
[/mm]
sowie
[mm] $C^{2n}(N(0,p_{2k}(n)))=6k-1$
[/mm]
Gruß Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Fr 20.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Also in meiner vorgeschlagenen Nomenklatur:
> Und nochmal Hallo !
>
> Vermutung:
>
> [mm]C^{2n+p_1(k)}(N(0,p_{p_1(k)}(n)))=1[/mm]
[mm] C^{2n+p_1(k)}(N(0,p_{p_1(k)}(n)))=1^
[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]C^{2n}(N(0,p_{2k}(n)))=6k-1[/mm]
[mm] C^{2n}(P_{2k}(n))=6k-1
[/mm]
n=1
[mm] C^2(P_{2k}(1))
[/mm]
[mm] P_{2k}(1)= \bruch{2*(3*2k-1)*4^1-1}{3}=16k-3
[/mm]
[mm] C(P_{2k}(n))=48k-8
[/mm]
[mm] C^2(P_{2k}(n))=24k-4
[/mm]
ist deine Vermutung doch falsch
denn erst
[mm] C^4(P_{2k}(1))=6k-1
[/mm]
Wir haben da ein Nomenklaturproblem
Kannst du bitte deine nochmals defnieren....
> Gruß Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Fr 20.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Es gilt:
[mm] C^{2n+2}(P_{k}(n))=3k-1
[/mm]
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Hallo !!!
Also nehmen wir einfach jetzt deine Konvention:
$ [mm] C^{2n+2}(P_{k}(n))=3k-1 [/mm] $
Dann vermute ich, für alle [mm] $k\in\IN\backslash \{0\}$:
[/mm]
[mm] $P_k(n)>3k-1\gdw [/mm] n>0$.
oder ?
Ausserdem die Vermutung:
Sei [mm] $P_k(n)$ [/mm] eine beliebige ungerade Startzahl.
Dann ist $k$ entweder gerade oder ungerade.
Falls $k$ gerade, dann wächst die Folge solange bis wir einen Index $k'$ erhalten, der ungerade ist.
Falls $k$ ungerade fällt sie, bis ein Index $k'$ gerade ist.
Revidiert:
Vermutung:
Bei geradem $k$ wächst die Folge solange, bis ein Index $k'$ erreicht wird, der ungerade ist. Von da an konvergiert die Folge gegen 1 !!!!
Liefert ein ungerades $k$ ein gerades $k'$, so wird diese Folge wachsen, bis ein ungerades $k''$ erreicht wird. Von da an konvergiert die Folge gegen 1.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Mathmark |
Nochmal hallo !
Es gilt [mm] $\forall m,k\in\IN_0$ [/mm] und [mm] $\forall n\in\IN$:
[/mm]
* [mm] $P_{p_{2n}(k)}(m)$ [/mm] liefert [mm] $P_{3n}(0)$
[/mm]
* [mm] $P_{p_{2n-1}(k)}(m)$ [/mm] liefert [mm] $P_1(0)=1$
[/mm]
Zerlegung von [mm] $P_{3n}(0)$ [/mm] in [mm] $P_{6n-3}(0)$ [/mm] und [mm] $P_{6n}(0)$:
[/mm]
* [mm] $P_{6n-3}(0)$ [/mm] liefert [mm] $P_1(0)=1$
[/mm]
* [mm] $P_{6n}(0)$ [/mm] muss ich noch untersuchen
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Servus !
Anbei habe ich hier eine Grafik
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sei dazu [mm] $k\in\IN$ [/mm] eine beliebige natürliche Zahl.
Falls $k$ gerade folgt [mm] $k_1=\frac{k}{2}$, [/mm] andernfalls [mm] $k_2=3k+1$.
[/mm]
Aus [mm] $k_2$ [/mm] folgt sofort [mm] $k_5=\frac{k_2}{2}$.
[/mm]
Aus [mm] $k_1$ [/mm] folgt nun entweder [mm] $k_3=\frac{k_1}{2}$, [/mm] falls [mm] $k_1$ [/mm] gerade, oder es folgt
[mm] $k_4=3k_1+1$, [/mm] falls [mm] $k_1$ [/mm] ungerade, usw.....
Das heisst im Schaubild wird bei gerader Zahl der Strahl nach links unten oder senkrecht nach Unten verwendet. Bei ungerader Zahl der Strahl nach rechts unten.
Vermutung:
Das Verhältnis von ungerader Zahl zu gerader Zahl nähert sich bei wachsenden Collatz-Iterationen gegen den goldenen Schnitt !
(Dafür nur die Anzahl der ungeraden und geraden Zahlen in den einzelnen Zeilen betrachten !)
Soll heissen:
Gerade:Ungerade [mm] $\approx$ [/mm] 1,6:1
Wäre damit nicht die Wahrscheinlichkeit höher, dass man bei
$n$-Collatz-Iterationen, bei einer geraden Zahl landet ?
Gruß Mark
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 25.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo mal wieder !!!!
Musste lange über alles grübeln............auch das auf meine letzten postings keiner mehr reagiert hat :-(
Aber trotzdem noch eine Frage:
Defintionen wie oben.
Sei [mm] $Z=\{2^n\}_{n\in\IN}$ [/mm] die Menge aller Zweierpotenzen.
Wäre die ![[]](/images/popup.gif) Collatz-Vermutung nicht bewiesen, wenn man zeigt, dass zu jedem [mm] $k\in\IN$ [/mm] ein $m [mm] \in\IN$ [/mm] existiert, so dass
[mm] $C^{m}(k)=p$ [/mm] mit [mm] $p\in [/mm] Z$.
Denn für alle [mm] $x\in [/mm] Z$ gilt [mm] $C^{log_2(x)}(x)=1$. [/mm]
Hoffe diesmal auf antwort
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 28.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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