Cos-Integral mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bereche [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{cos(ax)}{(x^2+b^2)^2} dx} [/mm] mit a>0, b>0. |
Hi, kann mir vielleicht bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?? komme da irgendwie echt nicht weiter. Habe so angefangen:
Sei [mm] f(x)=\bruch{e^{iaz}}{(x^2+b^2)^2}=\bruch{e^{iaz}}{((z+ib)(z-ib))^2}. [/mm] Die einzige Nullstelle/Polstelle in der oberen Halbebene ist ib.
Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich das Residuum von f an der Stelle ib berechnen kann. habe das so probiert:
[mm] Res(f,ib)=\bruch{g(ia)}{h'(ia)}=\bruch{e^{iaz}}{4x(x^2+b^2)}=\bruch{e^{iaib}}{4ib((ib)^2+b^2)}=\bruch{e^{iaib}}{4ib(-b^2+b^2)}, [/mm] so jetzt gehts hier nicht weiter :-//
Oder kann ich das so berechnen:
[mm] Res(f,ib)=\limes_{z\rightarrow ib}[(z-bi)^2f(z)]'=\limes_{z\rightarrow ib}\bruch{iae^{iat}}{z+bi}=\bruch{iae^{-ab}}{2bi}
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen, wäre echt super nett.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Fr 19.06.2009 | | Autor: | jaruleking |
Wenn jemand dieses Ergebnis bestätigen kann, dann habe ich es glaube ich hinbekommen, wenn nicht, habe ich es doch falsch gemacht :-/
Also ich komme auf: [mm] I=\bruch{i*\pi*b^2}{4a*e^{ab}}
[/mm]
Hoffe, dass kann wer bestätigen!!
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Bereche [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{cos(ax)}{(x^2+b^2)^2} dx}[/mm]
> mit a>0, b>0.
> Hi, kann mir vielleicht bei der Lösung dieser Aufgabe
> helfen?? komme da irgendwie echt nicht weiter. Habe so
> angefangen:
>
> Sei
> [mm]f(x)=\bruch{e^{iaz}}{(x^2+b^2)^2}=\bruch{e^{iaz}}{((z+ib)(z-ib))^2}.[/mm]
> Die einzige Nullstelle/Polstelle in der oberen Halbebene
> ist ib.
>
> Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich das Residuum von f an
> der Stelle ib berechnen kann. habe das so probiert:
>
> [mm]Res(f,ib)=\bruch{g(ia)}{h'(ia)}=\bruch{e^{iaz}}{4x(x^2+b^2)}=\bruch{e^{iaib}}{4ib((ib)^2+b^2)}=\bruch{e^{iaib}}{4ib(-b^2+b^2)},[/mm]
> so jetzt gehts hier nicht weiter :-//
>
> Oder kann ich das so berechnen:
>
> [mm]Res(f,ib)=\limes_{z\rightarrow ib}[(z-bi)^2f(z)]'=\limes_{z\rightarrow ib}\bruch{iae^{iat}}{z+bi}=\bruch{iae^{-ab}}{2bi}[/mm]
Da es sich um eine 2-fache Nullstelle des Nenners handelt,
ist diese Art der Berechnung des Residuums richtig.
Die Ableitung von [mm](z-bi)^2f(z)=\bruch{e^{iaz}}{\left(z+ib\right)^{2}}[/mm] stimmt nicht.
>
> Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen,
> wäre echt super nett.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi mathepower,
> Die Ableitung von $ [mm] (z-bi)^2f(z)=\bruch{e^{iaz}}{\left(z+ib\right)^{2}} [/mm] $ stimmt nicht.
ja habe die ganze aufgabe dann bisschen anders gelöst, habe schon gleich am anfang bei cos(ax) ax durch t substituiert. Dann dann auch mit der zweiten methode vorgeganen, um das Residuum zu berechen.
bekommen als Residuum dann [mm] Res(f,abi)=\bruch{1}{4ab*e^{ab}} [/mm] und als Ergebnis, wie gesagt $ [mm] I=\bruch{i\cdot{}\pi\cdot{}b^2}{4a\cdot{}e^{ab}} [/mm] $, deswegen habe ich ja gefragt, ob mir jemand das ergebnis bestätigen kann.
Aber auch gut möglich, dass ich das Residuum wieder falsch berechnet habe, vielleicht kann mich ja jemand korrgieren:
[mm] Res(f,abi)=\limes_{t\rightarrow abi}[(t-abi)^2 f(z)]'=\limes_{t\rightarrow abi}[\bruch{(t-abi)^2 e^{it}}{(t-abi)^2 (t+abi)^2}]'=\limes_{t\rightarrow abi}\bruch{ie^{it}}{2(t+abi)}=\bruch{ie^{-ab}}{4abi}
[/mm]
So, weiß nicht, ob ich das mit der Ableitung richtig gemacht. muss man das nach der Quotientenregel machen? Ich habe das jetzt noch L´hos. gemacht. Übrigens war meine funktion f(t) dann [mm] f(t)=\bruch{e^{it}}{(t^2+a^2 b^2)^2}=\bruch{e^{it}}{(t+abi)^2 (t-abi)^2}, [/mm] So habe ich es zumindest gemacht. Gut möglich, dass viele Fehler enthalten sind.
Hoffe auf hilfe.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi mathepower,
>
> > Die Ableitung von
> [mm](z-bi)^2f(z)=\bruch{e^{iaz}}{\left(z+ib\right)^{2}}[/mm] stimmt
> nicht.
>
> ja habe die ganze aufgabe dann bisschen anders gelöst, habe
> schon gleich am anfang bei cos(ax) ax durch t substituiert.
> Dann dann auch mit der zweiten methode vorgeganen, um das
> Residuum zu berechen.
>
> bekommen als Residuum dann [mm]Res(f,abi)=\bruch{1}{4ab*e^{ab}}[/mm]
> und als Ergebnis, wie gesagt
> [mm]I=\bruch{i\cdot{}\pi\cdot{}b^2}{4a\cdot{}e^{ab}} [/mm], deswegen
> habe ich ja gefragt, ob mir jemand das ergebnis bestätigen
> kann.
Das Ergebnis kann ich nicht nachvollziehen.
Poste doch mal die Rechenschritte,
wie Du zu diesem Ergebnis gekommen bist.
>
> Grüße
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Also ok, dann alles nochmal. habe das jetzt so gelöst:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{cos(ax)}{(x^2+b^2)^2} dx}=\bruch{a^3}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(t)}{(t^2+a^2 b^2)^2} dt}=\bruch{a^3}{2} [/mm] Re [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{it}}{(t^2+a^2 b^2)^2} dt}.
[/mm]
Deswegen mein $ [mm] f(x)=\bruch{e^{ix}}{(x^2+a^2 b^2)^2}=\bruch{e^{ix}}{((x+iab)(x-iab))^2}. [/mm] $ f(x) hat die Nullstellen abi und -abi, aber abi liegt in der oberen Halbende, deswegen muss man Res(f,abi) berechnen.
[mm] Res(f,abi)=\limes_{t\rightarrow abi}[(t-abi)^2 f(z)]'=\limes_{t\rightarrow abi}[\bruch{(t-abi)^2 e^{it}}{(t-abi)^2 (t+abi)^2}]'=\limes_{t\rightarrow abi}\bruch{ie^{it}}{2(t+abi)}=\bruch{ie^{-ab}}{4abi}
[/mm]
glaube aber , ich habe das Res(f,abi) falsch berechnet.
So und dann mit dem Resiudensatz habe ich dann bekommen:
[mm] \bruch{a^3}{2} [/mm] Re [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{it}}{(x^2+a^2 b^2)^2} dt}=\bruch{a^2 i\pi}{4b*e^{ab}}
[/mm]
So, hoffe meine Rechnenschritte sind nachvollziehbar.
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Also ok, dann alles nochmal. habe das jetzt so gelöst:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{cos(ax)}{(x^2+b^2)^2} dx}=\bruch{a^3}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(t)}{(t^2+a^2 b^2)^2} dt}=\bruch{a^3}{2}[/mm]
> Re [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{it}}{(t^2+a^2 b^2)^2} dt}.[/mm]
Ok.
>
> Deswegen mein [mm]f(x)=\bruch{e^{ix}}{(x^2+a^2 b^2)^2}=\bruch{e^{ix}}{((x+iab)(x-iab))^2}.[/mm]
> f(x) hat die Nullstellen abi und -abi, aber abi liegt in
> der oberen Halbende, deswegen muss man Res(f,abi)
> berechnen.
>
> [mm]Res(f,abi)=\limes_{t\rightarrow abi}[(t-abi)^2 f(z)]'=\limes_{t\rightarrow abi}[\bruch{(t-abi)^2 e^{it}}{(t-abi)^2 (t+abi)^2}]'=\limes_{t\rightarrow abi}\bruch{ie^{it}}{2(t+abi)}=\bruch{ie^{-ab}}{4abi}[/mm]
>
> glaube aber , ich habe das Res(f,abi) falsch berechnet.
Hier mußt Du den ganzen Ausdruck ableiten,
nicht Zähler und Nenner, wie bei L'Hospital, einzeln.
Differenziere also [mm]\left(t-i*a*b\right)^{2}*\bruch{e^{it}}{\left(t-i*a*b\right)^{2}*\left(t+i*a*b\right)^{2}}=\bruch{e^{it}}{\left(t+i*a*b\right)^{2}}[/mm]
gemäß der Quotientenregel.
>
> So und dann mit dem Resiudensatz habe ich dann bekommen:
>
> [mm]\bruch{a^3}{2}[/mm] Re
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{it}}{(x^2+a^2 b^2)^2} dt}=\bruch{a^2 i\pi}{4b*e^{ab}}[/mm]
>
>
> So, hoffe meine Rechnenschritte sind nachvollziehbar.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi nochmal
> Differenziere also $ [mm] \left(t-i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}\cdot{}\bruch{e^{it}}{\left(t-i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}\cdot{}\left(t+i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}}=\bruch{e^{it}}{\left(t+i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}} [/mm] $
gemäß der Quotientenregel.
hier bekomme ich aber kein schönes ergebnis, bzw. weiß nicht, wie man weiter vereinfachen kann.
[mm] (\bruch{e^{it}}{\left(t+i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}})'=\bruch{ie^{it}*(t+abi)^2 - e^{it}*(2(t+abi)}{(t+abi)^4})=\bruch{e^{it}(i(t+abi)-2)}{(t+abi)^3}, [/mm] kannst du mir dabei vielleicht nochmal helfen??? oder reicht das so schon?? wenn das so reicht, dann komme ich nämlich auf [mm] Res(f,abi)=\bruch{e^{-ab}(-2ab-2)}{(2abi)^3}. [/mm] Hier wüsste ich jetzt auch nicht weiter.
Danke für hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi nochmal
>
> > Differenziere also
> [mm]\left(t-i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}\cdot{}\bruch{e^{it}}{\left(t-i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}\cdot{}\left(t+i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}}=\bruch{e^{it}}{\left(t+i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}}[/mm]
> gemäß der Quotientenregel.
>
> hier bekomme ich aber kein schönes ergebnis, bzw. weiß
> nicht, wie man weiter vereinfachen kann.
>
> [mm](\bruch{e^{it}}{\left(t+i\cdot{}a\cdot{}b\right)^{2}})'=\bruch{ie^{it}*(t+abi)^2 - e^{it}*(2(t+abi)}{(t+abi)^4})=\bruch{e^{it}(i(t+abi)-2)}{(t+abi)^3},[/mm]
> kannst du mir dabei vielleicht nochmal helfen??? oder
> reicht das so schon??
Setze jetzt t=abi ein und multipliziere das dann mit [mm]2\pi i[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Also, dann zum Schluss nochmal.
d.h. das Ergebnis müsste richtig heißen: [mm] I=\bruch{*\pi(-2ab-2)}{-8*e^{ab} b^3}
[/mm]
Dieses mal mit Einverstanden???
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Also, dann zum Schluss nochmal.
>
> d.h. das Ergebnis müsste richtig heißen:
> [mm]I=\bruch{*\pi(-2ab-2)}{-8*e^{ab} b^3}[/mm]
>
> Dieses mal mit Einverstanden???
Richtig muss es heißen:
[mm]I=\bruch{\red{2}*\pi(-2ab-2)}{-8*e^{ab} b^3}[/mm]
Und kürzen kann man hier auch noch.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
HMMMMM.
Aber kann man die 2 in [mm] 2\pi [/mm] nicht auch kürzen??? mit der 2 aus [mm] \bruch{a^3}{2}
[/mm]
ich habe das hiermit gekürzt: [mm] \bruch{a^3}{2}Re \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{it}}{(x^2+a^2 b^2)^2} dt}=\bruch{a^3}{2} \bruch{2\pi e^{-ab}(-2ab-2)}{8i^3 a^3 b^3 }.
[/mm]
Deswegen kam ich auf [mm] I=\bruch{\cdot{}\pi(-2ab-2)}{-8\cdot{}e^{ab} b^3}....
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> HMMMMM.
>
> Aber kann man die 2 in [mm]2\pi[/mm] nicht auch kürzen??? mit der 2
> aus [mm]\bruch{a^3}{2}[/mm]
Ich habe da den Bruch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ignoriert.
>
> ich habe das hiermit gekürzt: [mm]\bruch{a^3}{2}Re \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{it}}{(x^2+a^2 b^2)^2} dt}=\bruch{a^3}{2} \bruch{2\pi e^{-ab}(-2ab-2)}{8i^3 a^3 b^3 }.[/mm]
>
> Deswegen kam ich auf
> [mm]I=\bruch{\cdot{}\pi(-2ab-2)}{-8\cdot{}e^{ab} b^3}....[/mm]
Ok, das stimmt, aber das "-" bekommt Du auch noch weg.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
