Cos(1/z), wesentliche Sing. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich verstehe nicht genau warum [mm] cos(\bruch{1}{z}) [/mm] eine wesentliche Singularität bei z=0 besitzt. Nach dem Hebbarkeitssatz findet man ja offensichtlich eine obere Schranke. |f(z)| = [mm] |cos(\bruch{1}{z})|\le [/mm] 1??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rechenfehler,
> Hallo zusammen!
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> Ich verstehe nicht genau warum [mm]cos(\bruch{1}{z})[/mm] eine
> wesentliche Singularität bei z=0 besitzt. Nach dem
> Hebbarkeitssatz findet man ja offensichtlich eine obere
> Schranke. |f(z)| = [mm]|cos(\bruch{1}{z})|\le[/mm] 1??
Das ist richtig.
Betrachte hier die Laurententwicklung von [mm]\cos\left(\bruch{1}{z}\right)[/mm] um z=0.
Diese hat einen unendlichen Hauptteil,
daher handelt es sich hier um eine wesentliche Singularität.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ja vieleicht habe ich meine Frage etwas unglücklich formuliert. Ich verstehe, dass es sich um eine wesentliche Singularität handel muss. Das sieht man ja schon wenn man sich die funktion ploten lässt wie stark sie in der nähe von null oszilliert. Was ich wohl ehr nicht verstehe ist dann der Hebbarkeitssatz:
"Ist f in einer Umgebung einer isolierten Singularität beschränkt, d.h. gibt es M und [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit |f(z)|<M für alle z mit 0 [mm] <|z-z_{0}|<\varepsilon [/mm] , so ist die Singularität hebbar."
weil [mm] |cos(z)|\le [/mm] 1 oder gilt das nur im reelen?
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okay auf die Idee hätte ich vorher schonmal kommen können....
Ich seh grade das sie im komplexen nicht beschränkt sind. Dann ist alles klar.
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Hallo Rechenfehler,
> Ja vieleicht habe ich meine Frage etwas unglücklich
> formuliert. Ich verstehe, dass es sich um eine wesentliche
> Singularität handel muss. Das sieht man ja schon wenn man
> sich die funktion ploten lässt wie stark sie in der nähe
> von null oszilliert. Was ich wohl ehr nicht verstehe ist
> dann der Hebbarkeitssatz:
>
> "Ist f in einer Umgebung einer isolierten Singularität
> beschränkt, d.h. gibt es M und [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit
> |f(z)|<M für alle z mit 0 [mm]<|z-z_{0}|<\varepsilon[/mm] , so ist
> die Singularität hebbar."
>
> weil [mm]|cos(z)|\le[/mm] 1 oder gilt das nur im reelen?
Ja, das gilt nur im reellen.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mi 24.08.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Für t [mm] \in \IR [/mm] gilt:
$cos(it)=cosh(t) [mm] \to \infty$ [/mm] für $t [mm] \to \pm \infty$
[/mm]
2. Ist f eine ganze Funktion, aber kein Polynom, so gilt für die Potenzreihenentwicklung
$f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*z^n$,
[/mm]
dass
(*) [mm] $a_n \ne [/mm] 0$ ist für unendlich viele n.
Weiter ist
$f(1/z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}$
[/mm]
die Laurententwicklung von g um 0, wobei g(z):=f(1/z). Aus (*) folgt: g hat in 0 eine wesentliche Singularität.
Bei Dir ist f(z)=cos(z).
FRED
FRED
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