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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 12.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Also ich hab die Aufgabe:
Seien x, y [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 1.
Jetzt soll man zeigen, dass es genau ein [mm] \gamma \in [0,2\pi [/mm] ) mit [mm] cos\gamma [/mm] = x
und [mm] sin\gamma [/mm] = y gibt.
Heißt das?
[mm] cos\gamma^{2} [/mm] + [mm] sin\gamma^{2} [/mm] = 1
Da [mm] \gamma \in [0,2\pi [/mm] )
muss ich jetzt irgend ein [mm] \gamma [/mm] finden damit die Gleichung erfüllt ist.
Stimmt das soweit oder ist das total falsch?
Wenn stimmt wir kann man weiter machen bzw. wenn es nicht stimmt, wie kann man so was lösen?
mfg
Thomas
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Hallo, Thomas.K
da die x,y auf reelle Werte beschränkt sind müßen sie beide in [-1,+1] liegen
und
ein passendes Paar liegt immer auf dem Einheitskreis
und
definiert damit eindeutig ein [mm] $\gamma$ [/mm] mit $0 [mm] \le \gamma [/mm] < [mm] 2\pi$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo ThomasK,
> Hi
>
> Also ich hab die Aufgabe:
>
> Seien x, y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 1.
>
> Jetzt soll man zeigen, dass es genau ein [mm]\gamma \in [0,2\pi[/mm]
> ) mit [mm]cos\gamma[/mm] = x
> und [mm]sin\gamma[/mm] = y gibt.
>
> Heißt das?
>
> [mm]cos\gamma^{2}[/mm] + [mm]sin\gamma^{2}[/mm] = 1
Achtung, du meinst:
[m](\cos(\gamma))^2+(\sin(\gamma))^2=1[/m] bzw.
[m]cos^2(\gamma)+sin^2(\gamma)=1[/m].
> Da [mm]\gamma \in [0,2\pi[/mm] )
>
> muss ich jetzt irgend ein [mm]\gamma[/mm] finden damit die Gleichung
> erfüllt ist.
Wenn du dich nur fragst, welche [m]\gamma[/m] Lösungen der Gleichung:
[mm] $(\star)$[/mm] [m]\cos^2(\gamma)+\sin^2(\gamma)=1[/m] sind, dann wirst du kein eindeutiges [m]\gamma[/m] finden (das heißt hier nicht, dass du kein [m]\gamma[/m] findest, das [mm] $(\star)$ [/mm] löst; sondern: dieses [m]\gamma[/m] ist durch [mm] $(\star)$ [/mm] nicht eindeutig bestimmt!).
Es gilt nämlich für alle [m]\gamma \in [0,2\pi)[/m] (sogar für alle [mm] $\gamma \in \IC$):
[/mm]
[m]sin^2(\gamma)+cos^2(\gamma)=1[/m].
> Stimmt das soweit oder ist das total falsch?
> Wenn stimmt wir kann man weiter machen bzw. wenn es nicht
> stimmt, wie kann man so was lösen?
Nun ja, aus [m]x,y \in \IR[/m] mit [m]x^2+y^2=1[/m] folgt:
[m]0 \le |x| \le 1[/m] sowie [m]0 \le |y| \le 1[/m].
Also kannst du o.B.d.A. annehmen, dass [m]-1 \le x \le 1[/m] als auch [m]-1 \le y \le 1[/m] gilt. Jetzt nehmen wir an, du hättest $x,y [mm] \in [/mm] [-1,1]$ fest vorgegeben bekommen mit [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] und wir suchen ein [m]\gamma \in [0,2\pi)[/m], dass die Gleichungen [m]x=\cos(\gamma)[/m] und [m]y=\sin(\gamma)[/m] beide löst.
Jetzt überlegen wir:
Ist [m]x \in [-1,1][/m], so gibt es mindestens ein [m]\gamma \in [0,2\pi)[/m] mit [m]cos(\gamma)=x[/m]. Im Falle $x=-1$ (dann ist [m]\gamma=\pi[/m]) oder im Falle [m]x=1[/m] (dann ist [m]\gamma=0[/m]) ist das [m]\gamma[/m] dann auch eindeutig bestimmt. Aber im Falle [m]x \in (-1,1)[/m] wissen wir, dass es zwei solche [m]\gamma \in ([0,2\pi)\setminus\{0,\pi\})[/m] gibt, d.h. falls [m]x \in (-1,1)[/m], so existieren [m]\gamma_1,\gamma_2 \in ([0,2\pi)\setminus\{0,\pi\})[/m], [m]\gamma_1 \not=\gamma_2[/m] mit [m]cos(\gamma_1)=cos(\gamma_2)=x[/m].
Jetzt kannst du dir überlegen:
[m]\sin(\gamma_1)[/m] und [m]\sin(\gamma_2)[/m] haben verschiedene "Vorzeichen" (aber es gilt: [m]|sin(\gamma_1)|=|sin(\gamma_2)|[/m]). Da aber [mm] $y=\sin(\gamma)$ [/mm] gelten soll, wählen wir [m]\gamma \in \{\gamma_1,\gamma_2\}[/m] so, dass das "Vorzeichen" von [m]sin(\gamma)[/m] zu dem Vorzeichen von [m]y[/m] passt; und dann gilt auch schon "automatisch" [m]sin(\gamma)=y[/m] (das kann man sich auch überlegen; aber um dir das näher zu erläutern, wäre es am besten, wenn ich etwas mehr über eure Vorlesung wüßte!).
So, dass war jetzt in keiner Weise ein "wirklicher" Beweis deiner Aussage (sondern eher eine Anreihung von wahren Aussagen; solltest du versuchen, hiermit einen Beweis zu "bauen", so mußt du immer gucken, dass ihr das, was du benutzen willst, auch schon bewiesen habt oder du mußt es, sozusagen als "Hilfssatz", erst beweisen!).
(Z.B. wenn du ein [mm] $\gamma \in [0,2\pi)$ [/mm] mit [m]cos(\gamma)=x[/m] gefunden hast, woher weißt du dann:
[m]\cos^2(\gamma)+\sin^2(\gamma)=1[/m]? Ich habe behauptet, dass das sogar für alle [m]\gamma \in \IC[/m] gilt; bewiesen habe ich das aber nicht. Einen Beweis kann ich auch erst dann "vernünftig" machen, wenn ich weiß, was du/ihr über den Sinus, Kosinus weißt/wißt (sind z.B. Additionstheoreme bekannt?)).
Aber ich hoffe, dass dir durch diesen Beitrag die Idee kommt, wie man bei dem Beweis ansetzen muss und du damit eine Beweisidee bekommst, die sich mit deinem Wissen umsetzen läßt.
Das Problem ist, dass ich momentan leider absolut nicht weiß, wie ihr den Sinus, Kosinus definiert habt; welche Sätze ihr über den Sinus, Kosinus kennt; ich weiß also gar nicht, auf welchem "Wissensstand" du bist und was du benutzen darfst (z.B. weißt du schon:
[m]e^{ix}=\cos(x)+i*\sin(x)[/m] [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$?
[/mm]
Weißt du, dass beispielsweise, wenn [m]\cos:\IR \to [-1,1][/m], [m]x \mapsto \cos(x)[/m], dass dann z.B. [m]\cos_{|[0,\pi]}:[0,\pi] \to [-1,1][/m] bijektiv ist (hierbei ist [m]\cos_{|[0,\pi]}[/m] die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall [m][0,\pi][/m])? Etc.) .
Am besten wäre es, wenn du einen Link zu eurem Skript setzen könntest (falls es einen Link gibt), dann könnten wir am ehesten nachgucken, was wir benutzen dürfen, um den Sachverhalt mit eurem Wissensstand zu beweisen oder um dir eine "Beweisskizze" zu liefern, die auf eure Vorlesung zugeschnitten ist bzw. konkrete Hinweise zu geben, die zu eurer Vorlesung passen!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Do 13.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Das sieht ja alles sehr gut aus.
Aber irgendwie hab ich das nicht verstanden.
Kann mir das jemand nochmal erklären wie das funktionieren soll..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 13.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Pythagoras sollte bekannt sein.
Dann ist klar,dass [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] die Menge aller Punkte auf dem Einheitskreis um 0,0 sind.
zu jedem festen Punkt [mm] x_{1}, y_{1} [/mm] gibt es dann nur einen Winkel /gamma mit cos(/gamma)=x
wieder wegen Pythagoras ist dann automatisch sin(/gamma)=y.
Wenn es dir nicht einleuchtet mal den Kreis auf und zeichne den Radius zu x,y ein,/gamma liegt dann zwischen Radius und x-Achse
MfG leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Do 13.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo leduart,
> Hallo
> Pythagoras sollte bekannt sein.
> Dann ist klar,dass [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] die Menge aller Punkte
> auf dem Einheitskreis um 0,0 sind.
> zu jedem festen Punkt [mm]x_{1}, y_{1}[/mm] gibt es dann nur einen
> Winkel /gamma mit cos(/gamma)=x
Das ist ja gerade die Behauptung, die er beweisen soll. Ich habe ihn extra darum gebeten, mehr Hinweise zu der Vorlesung zu geben, sonst liefere ich ihm einen Beweis, der nicht zur Vorlesung passt und daher nicht akzeptiert wird.
Nochmal so als Plausibilitätsbegründung:
Man zeichne sich den Einheitskreis in ein kartesisches Koordinatensystem ein (alle Punkte, die dann [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] erfüllen, liegen auf dem Einheitskreis; falls Pythagoras benutzt werden darf, siehe Begründung von leduart). Nun wähle man einen Punkt $(x,y)$ des Einheitskreises aus (ausgeschlossen sollen jetzt die Punkte $(1,0)$ und $(0,1)$ des Einheitskreises werden, weil wir für die ein eindeutiges [mm] $\gamma$ [/mm] haben) (hier: Wir wählen z.B. den roten Punkt [mm] $\red{(x,y)}$ [/mm] (siehe Skizze unten) aus):
Wenn wir jetzt ein [m]\gamma \in [0,2\pi)[/m] suchen, dass [m]x=\cos(\gamma)[/m] erfüllt, so gibt es zwei Möglichkeiten:
Die Länge des "grünen" Bogenstückes (das sei [mm] $\gamma_1$) [/mm] erfüllt [m]\cos(\gamma_1)=x[/m], und die Länge des grünen Bogenstückes liegt im Intervall [mm] $[0,2\pi)$. [/mm] Ferner muss [mm] $\gamma_1\not=0$ [/mm] sein (da ich ja, siehe oben, [mm] $(x,y)\not=(1,0)$ [/mm] haben wollte) und es muss auch [mm] $\gamma_1\not=\pi$ [/mm] sein (ich wollte ja auch, dass [m](x,y) \not=(-1,0)[/m] ist).
Nun gibt es aber dann auch immer ein weiteres [m]\gamma_2[/m] in dem Intervall [mm] $[0,2\pi)$, [/mm] dass [mm] $\cos(\gamma_2)=x$ [/mm] erfüllt. Man braucht ja nur den Punkt $(x,y)$ an der x-Achse zu spiegeln, und erhält einen Punkt [m](x',y')[/m] auf dem Einheitskreis. Dann erkennt man:
[mm] $\cos(\gamma_1)=x=x'=\cos(\gamma_2)$ [/mm] (übrigens: [m]\gamma_1[/m] und [m]\gamma_2[/m] stehen in einer Beziehung zueinander), obwohl aber [m]\gamma_1\not=\gamma_2[/m] und [m]\gamma_1,\gamma_2 \in ([0,2\pi)\setminus\{0,\pi\})[/m]. D.h., alleine durch die Gleichung:
[mm] $cos(\gamma)=x$ [/mm] kann dein [mm] $\gamma$ [/mm] i.A. noch nicht alleine bestimmt sein. Die Eindeutigkeit folgt dann i.A. erst durch zusätzliches benutzen der anderen Gleichung:
[mm] $\sin(\gamma)=y$.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, sorry, ich habe nochmal versucht, den "geometrischen" Gedanken zu erklären. Das ist aber gerade irgendwie nicht einfach; wenn ich das von Angesicht zu Angesicht machen könnte, dann wäre es mit Sicherheit um einiges klarer, was ich meinte, dann könnte ich sagen:
Es gilt nämlich... drauf zeigen etc. und es verdeutlichen...
Naja, nur weiß ich immer noch nicht, wie z.B. der Sinus in der Vorlesung von ThomasK überhaupt definiert wurde (bei uns z.B. wurde:
[mm] $\sin:\IR \to \IR$ [/mm] durch $x [mm] \mapsto \sin(x):=\mbox{Im}(e^{ix})$ [/mm] definiert...).
Viele Grüße,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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