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Cosinussatz: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:04 So 07/02/2016
Author: algieba

Aufgabe
Betrachte ein Dreieck mit Seitenlängen [mm] $t_0, t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$. [/mm] Bezeichne den Umfang mit $L = [mm] t_0 [/mm] + [mm] t_1 [/mm] + [mm] t_2$ [/mm]
Mit dem Cosinussatz folgt:
[mm] $t_0 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] - [mm] t_1 [/mm] = [mm] \frac{4t_0 t_2 \sin^2 \varphi_0}{L} [/mm]

Hallo

Ich komme bei der Aufgabe nicht auf die angegebene Lösung. Mein Rechenweg:

[mm] $t_0 [/mm] + [mm] t_1 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] = L$

[mm] $\Leftrightarrow t_0 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] = L - [mm] t_1$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow t_0^2 [/mm] + [mm] 2t_0 t_2 [/mm] + [mm] t_2^2 [/mm] = [mm] L^2 [/mm] - [mm] 2Lt_1 [/mm] + [mm] t_1^2$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow t_0^2 [/mm] + [mm] 2t_0 t_2 [/mm] + [mm] t_2^2 [/mm] = [mm] L(L-2t_1) [/mm] + [mm] t_0^2 [/mm] + [mm] t_2^2 [/mm] - [mm] 2t_0t_2 \cos \phi_0$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \frac{2t_0t_2(1+\cos\phi_0)}{L} [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] - [mm] t_1$ [/mm]

Jetzt könnte man die Identität $(1 + [mm] \cos \phi_0) [/mm] = 2 [mm] \cos^2(\frac{\phi_0}{2})$ [/mm] benutzen, damit gilt:

[mm] $\Leftrightarrow \frac{4t_0t_2 \cos^2(\frac{\phi_0}{2})}{L} [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] - [mm] t_1$ [/mm]

Aber das ist doch nicht dasselbe wie in der Aufgabe, oder?

Vielen Dank und viele Grüße

        
Bezug
Cosinussatz: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:51 Mo 08/02/2016
Author: fred97


> Betrachte ein Dreieck mit Seitenlängen [mm]t_0, t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm].
> Bezeichne den Umfang mit [mm]L = t_0 + t_1 + t_2[/mm]
>  Mit dem
> Cosinussatz folgt:
>  [mm]$t_0[/mm] + [mm]t_2[/mm] - [mm]t_1[/mm] = [mm]\frac{4t_0 t_2 \sin^2 \varphi_0}{L}[/mm]
>  
> Hallo
>  
> Ich komme bei der Aufgabe nicht auf die angegebene Lösung.

Ich auch nicht, denn obige Formel ist falsch.

Mit  [mm] \varphi_0=\bruch{\pi}{2} [/mm] ergibt sich nicht der Satz von Pythagoras !

Gruß FRED

P.S.: richtig lautet es:

[mm]$t_0[/mm] + [mm]t_2[/mm] - [mm]t_1[/mm] = [mm]\frac{4t_0 t_2 \sin^2 \bruch{ \varphi_0}{2}}{L}[/mm]





> Mein Rechenweg:
>  
> [mm]t_0 + t_1 + t_2 = L[/mm]
>  
> [mm]\Leftrightarrow t_0 + t_2 = L - t_1[/mm]
>  
> [mm]\Leftrightarrow t_0^2 + 2t_0 t_2 + t_2^2 = L^2 - 2Lt_1 + t_1^2[/mm]
>  
> [mm]\Leftrightarrow t_0^2 + 2t_0 t_2 + t_2^2 = L(L-2t_1) + t_0^2 + t_2^2 - 2t_0t_2 \cos \phi_0[/mm]
>  
> [mm]\Leftrightarrow \frac{2t_0t_2(1+\cos\phi_0)}{L} = t_0 + t_2 - t_1[/mm]
>  
> Jetzt könnte man die Identität [mm](1 + \cos \phi_0) = 2 \cos^2(\frac{\phi_0}{2})[/mm]
> benutzen, damit gilt:
>  
> [mm]\Leftrightarrow \frac{4t_0t_2 \cos^2(\frac{\phi_0}{2})}{L} = t_0 + t_2 - t_1[/mm]
>  
> Aber das ist doch nicht dasselbe wie in der Aufgabe, oder?
>  
> Vielen Dank und viele Grüße


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