matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenDAE ohne Transformation
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Differentialgleichungen" - DAE ohne Transformation
DAE ohne Transformation < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DAE ohne Transformation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Do 25.11.2010
Autor: little-miss-moody

Aufgabe
Wir berachten die DAE (Differential-algebraische Gleichung):
u'(t)=f(t,u(t),v(t)),
0 = g(t,u(t),v(t)),
mit Funktionen [mm] u:\IR \to \IR^{n} [/mm] und [mm] v:\IR \to \IR^{m} [/mm] sowie [mm] f:\IR^{1+n+m} \to \IR^{n} [/mm] und [mm] g:\IR^{1+n+m} \to \IR^{m}. [/mm] Das System soll ohne Transformation auf eine normale AWA (Anfangswertaufgabe) mit dem impliziten Euler-Verfahren approximiert werden.
a) Man formuliere das Newton-Verfahren zum Lösen des nichtlineraren Gleichungssystems in jedem Schritt des impliziten Euler-Verfahrens.
b) Man versuche Bedingungen anzugeben, unter denen die nichtlinearen Systeme mit dem Newton-Verfahren lösbar sind.

Hallo,
also eigentlich habe ich überhaupt keine Ahnung was ich hier tun soll. Mit Transformation wäre das ja kein Prolem, ich leite die zweite Gleichung ab und erhalten einen Ausdruck mit v' nach dem ich dann auflösen kann, falls alles regulär ist und so weiter.
Jetzt hatten wir in der Vorlesung, dass man ein solches Problem umschreiben kann in das Problem:
[mm] \pmat{ I & 0 \\ 0 & 0 } \vektor{u'(t) \\ v'(t)} [/mm] = [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } \vektor{u(t) \\ v(t)} [/mm] + [mm] \vektor{f \\ g} [/mm]
mit A [mm] \in \IR^{nxn}, [/mm] B [mm] \in \IR^{nxm}, [/mm] C [mm] \in \IR^{mxn}, [/mm] D [mm] \in \IR^{mxm} [/mm]
wenn man jetzt das implizite Euler Verfahren anwendet erhält man
[mm] \pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}=\vektor{u_{n-1}+hf \\ hg} [/mm]
Aber wo und wie kommt da jetzt das Newton-Verfahren ins Spiel... Ich vermute das das ganze irgendetwas mit der Jacobimatrix zu tun hat...
Ich würde mich über jeden noch so kleinsten Tipp rießig freuen.
(Leider ist das jetzt doch eher eine allgemeine Frage geworden, aber ich stehe so auf dem Schlauch, dass ich gar keinen Anfang sehe...)

Viele Grüße, LMM

        
Bezug
DAE ohne Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 25.11.2010
Autor: MathePower

Hallo little-miss-moody,

> Wir berachten die DAE (Differential-algebraische
> Gleichung):
>  u'(t)=f(t,u(t),v(t)),
>  0 = g(t,u(t),v(t)),
>  mit Funktionen [mm]u:\IR \to \IR^{n}[/mm] und [mm]v:\IR \to \IR^{m}[/mm]
> sowie [mm]f:\IR^{1+n+m} \to \IR^{n}[/mm] und [mm]g:\IR^{1+n+m} \to \IR^{m}.[/mm]
> Das System soll ohne Transformation auf eine normale AWA
> (Anfangswertaufgabe) mit dem impliziten Euler-Verfahren
> approximiert werden.
>  a) Man formuliere das Newton-Verfahren zum Lösen des
> nichtlineraren Gleichungssystems in jedem Schritt des
> impliziten Euler-Verfahrens.
>  b) Man versuche Bedingungen anzugeben, unter denen die
> nichtlinearen Systeme mit dem Newton-Verfahren lösbar
> sind.
>  Hallo,
>  also eigentlich habe ich überhaupt keine Ahnung was ich
> hier tun soll. Mit Transformation wäre das ja kein Prolem,
> ich leite die zweite Gleichung ab und erhalten einen
> Ausdruck mit v' nach dem ich dann auflösen kann, falls
> alles regulär ist und so weiter.
>  Jetzt hatten wir in der Vorlesung, dass man ein solches
> Problem umschreiben kann in das Problem:
>  [mm]\pmat{ I & 0 \\ 0 & 0 } \vektor{u'(t) \\ v'(t)}[/mm] = [mm]\pmat{ A & B \\ C & D } \vektor{u(t) \\ v(t)}[/mm]
> + [mm]\vektor{f \\ g}[/mm]
>  mit A [mm]\in \IR^{nxn},[/mm] B [mm]\in \IR^{nxm},[/mm] C
> [mm]\in \IR^{mxn},[/mm] D [mm]\in \IR^{mxm}[/mm]
>  wenn man jetzt das
> implizite Euler Verfahren anwendet erhält man
>  [mm]\pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}=\vektor{u_{n-1}+hf \\ hg}[/mm]


Schreibe das doch mal ausführlich hin:

[mm]\pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}=\vektor{u_{n-1}+hf\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right) \\ hg\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right)}[/mm]

Dann ist in jedem Schritt das Gleichungssytem

[mm]\pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}+h\vektor{f\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right) \\ g\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right)}=\vektor{u_{n-1} \\ 0}[/mm]

zu lösen.


>  
> Aber wo und wie kommt da jetzt das Newton-Verfahren ins
> Spiel... Ich vermute das das ganze irgendetwas mit der
> Jacobimatrix zu tun hat...


Da vermutest Du richtig.


>  Ich würde mich über jeden noch so kleinsten Tipp rießig
> freuen.
>  (Leider ist das jetzt doch eher eine allgemeine Frage
> geworden, aber ich stehe so auf dem Schlauch, dass ich gar
> keinen Anfang sehe...)
>  
> Viele Grüße, LMM


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]