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DGL-System- Eigenwerte komplex: Rückfrage, Idee, Hilfe, Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:54 Mo 02/07/2018
Author: Dom_89

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgenden Beispiel:

Zunächst habe ich die Eigenwerte bestimmt:

[mm] \vmat{ 1-\lambda & 4 \\ -1 & 1-\lambda } [/mm] = [mm] (1-\lambda)^{2}+4 [/mm] = [mm] \lambda^{2}-2\lambda+5 [/mm] = 0

[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] 1\pm\wurzel{-4} [/mm]

[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1-2i

Nun sollen noch die Eigenvektoren bestimmt werden:

[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2i : [mm] \vmat{ -2i & 4 \\ -1 & -2i} [/mm]

Nun verstehe ich allerdings nicht, wie man auf den ersten Eigenvektor von

[mm] x_{1}=\vektor{-2i \\ 1} [/mm] kommt!?

Habt ihr da einen Tipp für mich?

Vielen Dank

        
Bezug
DGL-System- Eigenwerte komplex: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:07 Mo 02/07/2018
Author: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu folgenden Beispiel:
>  
> Zunächst habe ich die Eigenwerte bestimmt:
>  
> [mm]\vmat{ 1-\lambda & 4 \\ -1 & 1-\lambda }[/mm] =
> [mm](1-\lambda)^{2}+4[/mm] = [mm]\lambda^{2}-2\lambda+5[/mm] = 0
>  
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]1\pm\wurzel{-4}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2i
>  [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1-2i
>  
> Nun sollen noch die Eigenvektoren bestimmt werden:
>  
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2i : [mm]\vmat{ -2i & 4 \\ -1 & -2i}[/mm]
>  
> Nun verstehe ich allerdings nicht, wie man auf den ersten
> Eigenvektor von
>
> [mm]x_{1}=\vektor{-2i \\ 1}[/mm] kommt!?
>  
> Habt ihr da einen Tipp für mich?

Sei [mm] $x_1=\vektor{a \\ b}$ [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_1. [/mm]

Also gilt

-2i a+4b=0 und -a-2ib =0.

Die Lösungsmenge diese LGS ist

[mm] \{t\vektor{-2i \\ 1}: t \in \IC\}. [/mm]

>  
> Vielen Dank


Bezug
                
Bezug
DGL-System- Eigenwerte komplex: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:28 Mo 02/07/2018
Author: Dom_89

Hallo Fred,

vielen Dank für die Antwort!

Es klappt bei mir aber nicht, dass von die genannte LGS -2i a+4b=0 und -1-2ib =0 zu lösen bzw. mir fehlt ein Ansatz für den ersten Schritt!

Kannst du mir da nochmal helfen ?

Danke

Bezug
                        
Bezug
DGL-System- Eigenwerte komplex: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:52 Mo 02/07/2018
Author: fred97


> Hallo Fred,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Es klappt bei mir aber nicht, dass von die genannte LGS -2i
> a+4b=0 und -1-2ib =0 zu lösen bzw. mir fehlt ein Ansatz
> für den ersten Schritt!


Die zweite Gleichung lautet -a-2ib=0.

Wir haben also das LGS

-2ia+4b=0
-a-2ib=0.


Multipliziert man die 2. Gleichung mit 2i, so bekommt man die erste.

Wir müssen also a und b so bestimmen, dass

a=-2ib

und [mm] \vektor{a \\ b} \ne \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist.

Jede(!) Wahl von [mm] \vektor{-2ib \\ b} [/mm]  mit b [mm] \ne [/mm] 0 leistet das Gewünschte !

>  
> Kannst du mir da nochmal helfen ?
>  
> Danke


Bezug
                                
Bezug
DGL-System- Eigenwerte komplex: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:38 Di 03/07/2018
Author: Dom_89

Hallo Fred,

hier einmal mein Vorgehen:

[mm] \pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -a & -2ib | 0 } [/mm]

Dann habe ich II mit 2i multipliziert

[mm] \pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -2ia & 4b | 0 } [/mm]

II - I

[mm] \pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ 0 & 0 | 0 } [/mm]

Somit ergibt sich in II für b = 1

Nun habe ich noch I

-2ia+4b = 0
-2ia+4 = 0
-2ia = -4
a = [mm] \bruch{-4}{-2i} [/mm]
a = 2i

Und somit komme ich dann auf den ersten Eigenvektor von [mm] \vektor{2i \\ 1} [/mm]


Laut Musterlösung soll sich aber für den Eigenwert [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2i der Eigenvektor [mm] \vektor{-2i \\ 1} [/mm] und für den zweiten Eigenwert [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1-2i der Eigenvektor [mm] \vektor{2i \\ 1} [/mm] ergeben - ich habe es aktuell genau anderes herum. Wo liegt da mein Fehler?

Danke

Bezug
                                        
Bezug
DGL-System- Eigenwerte komplex: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:01 Di 03/07/2018
Author: fred97


> Hallo Fred,
>  
> hier einmal mein Vorgehen:
>  
> [mm]\pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -a & -2ib | 0 }[/mm]
>  
> Dann habe ich II mit 2i multipliziert
>  
> [mm]\pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -2ia & 4b | 0 }[/mm]
>  
> II - I
>  
> [mm]\pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ 0 & 0 | 0 }[/mm]
>  
> Somit ergibt sich in II für b = 1
>  
> Nun habe ich noch I
>  
> -2ia+4b = 0
>  -2ia+4 = 0
>  -2ia = -4
>  a = [mm]\bruch{-4}{-2i}[/mm]
>  a = 2i

Nein. Sondern (ganz ausführlich):

$a= [mm] \bruch{-4}{-2i}= \bruch{4}{2i}= \bruch{2}{i}= \bruch{2i}{i^2}= \bruch{2i}{-1}=-2i$. [/mm]



>  
> Und somit komme ich dann auf den ersten Eigenvektor von
> [mm]\vektor{2i \\ 1}[/mm]
>  
>
> Laut Musterlösung soll sich aber für den Eigenwert
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2i der Eigenvektor [mm]\vektor{-2i \\ 1}[/mm] und
> für den zweiten Eigenwert [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1-2i der
> Eigenvektor [mm]\vektor{2i \\ 1}[/mm] ergeben - ich habe es aktuell
> genau anderes herum. Wo liegt da mein Fehler?
>  
> Danke


Bezug
                                                
Bezug
DGL-System- Eigenwerte komplex: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:28 Mi 04/07/2018
Author: Dom_89

Vielen Dank für die Erklärung!

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