DGL-System 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 02.06.2010 | | Autor: | keksdose |
| Aufgabe | | [Externes Bild http://img718.imageshack.us/img718/6666/mathe2.jpg] |
Hallo!
DGL ist wirklich nicht meine Stärke und beim aktuellen Aufgabenblatt muss ich leider die weiße Fahne hissen. Ich fühle mich ziemlich überfordert und würde mich über eine Skizze zur Lösung freuen. Ich lese auch gerne etwas nach, aber in meinen Büchern finde ich nichts, das mir weiterhilft.
(Repetition der höheren Mathematik (Merzinger/Wirth) und Mathematische Formelsammlung (Papula), wenn mir jemand sagen könnte, welches Kapitel ich mir ansehen sollte, wäre das auch eine große Hilfe)
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo keksdose,
> [Externes Bild http://img718.imageshack.us/img718/6666/mathe2.jpg]
> Hallo!
> DGL ist wirklich nicht meine Stärke und beim aktuellen
> Aufgabenblatt muss ich leider die weiße Fahne hissen. Ich
> fühle mich ziemlich überfordert und würde mich über
> eine Skizze zur Lösung freuen. Ich lese auch gerne etwas
> nach, aber in meinen Büchern finde ich nichts, das mir
> weiterhilft.
> (Repetition der höheren Mathematik (Merzinger/Wirth) und
> Mathematische Formelsammlung (Papula), wenn mir jemand
> sagen könnte, welches Kapitel ich mir ansehen sollte,
> wäre das auch eine große Hilfe)
Lies Dir mal das Kapitel über Differentialgleichungen in
der Repetition der höheren Mathematik durch.
Der Link ![[]](/images/popup.gif) Gewöhnliche Differentialgleichungen im Abschnitt
Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme hilft
Dir ebenfalls weiter.
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> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 02.06.2010 | | Autor: | keksdose |
Vielen Dank für die Antwort, MathePower.
Leider hapert es immer noch etwas. Ich schaffe es normalerweise die Aufgaben zu lösen, doch irgendwie ist diese Aufgabe anders.
Ich versuche die DGL in eine DGL 1. Ordnung zu überführen mithilfe der Äquivalenz einer DGL n-ter Ordnung mit einem System 1. Ordnung) und kriege dann so etwas heraus:
[mm] x_{1}=x^{(1)}=x_{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=x^{(2)}=y-x
[/mm]
Und jetzt würde ich eigentlich den letzten Term mithilfe von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] ersetzen und eine Anfangsbedingung einsetzen und ein Iterationsverfahren verwenden, aber das ist offensichtlich der falsche Weg. Mir reichen Stichpunkte und evtl. Seitenzahlen aus den Büchern, die mich weiterbringen könnten. Ich habe ein Brett vor dem Kopf.
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Hallo keksdose,
> Vielen Dank für die Antwort, MathePower.
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> Leider hapert es immer noch etwas. Ich schaffe es
> normalerweise die Aufgaben zu lösen, doch irgendwie ist
> diese Aufgabe anders.
>
> Ich versuche die DGL in eine DGL 1. Ordnung zu überführen
> mithilfe der Äquivalenz einer DGL n-ter Ordnung mit einem
> System 1. Ordnung) und kriege dann so etwas heraus:
>
> [mm]x_{1}=x^{(1)}=x_{2}[/mm]
> [mm]x_{2}=x^{(2)}=y-x[/mm]
>
> Und jetzt würde ich eigentlich den letzten Term mithilfe
> von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] ersetzen und eine Anfangsbedingung
> einsetzen und ein Iterationsverfahren verwenden, aber das
> ist offensichtlich der falsche Weg. Mir reichen Stichpunkte
> und evtl. Seitenzahlen aus den Büchern, die mich
> weiterbringen könnten. Ich habe ein Brett vor dem Kopf.
Um das System von DLGn 2. Ordung
[mm]x''\left(t\right)=y\left(t\right)-x\left(t\right)[/mm]
[mm]y''\left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)[/mm]
in einen äquivalentes System von DGLn 1.Ordnung,
werden ein paar neue Variablen eingeführt:
[mm]x_{1}:=x[/mm]
[mm]x_{2}:=x_{1}' =x'[/mm]
[mm]y_{1}:=y[/mm]
[mm]y_{2}:=y_{1}' =y'[/mm]
Dann ist
[mm]x_{2}'=x''=y-x=y_{1}-x_{1}[/mm]
[mm]y_{2}'=y''=x-y=x_{1}-y_{1}[/mm]
Daraus ergibt sich dann das System 1. Ordnung zu:
[mm]\pmat{x_{1}' \\ x_{2}' \\ y_{1}' \\ y_{2}'}=\pmat{0 &1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
Dieses System wird dann gelöst, indem die Eigenwerte
mit den zugehörigen Eigenvektoren zur Matrix
[mm]\pmat{0 &1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0}[/mm]
bestimmt werden.
Gruss
MathePower
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