DGL-Systeme; DGL 2./3. Ordnun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | bollera |
| Aufgabe 1 | a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y'=Ay+b(t), y(0)=n
i) A = [mm] Matrizen \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{pmatrix} [/mm] , b(t) = [mm] \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \end{pmatrix}, [/mm] n= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
ii) A= [mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -3
\end{pmatrix}, [/mm] b(t) = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, n=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Lösen Sie y''-6y'+10y=0, y'(0)=0 |
| Aufgabe 3 | | c) Lösen Sie y'''+5y''+7y'+3y=0 |
Hallo,
also ich hab mich bis jetzt bei den dgl super durchgeschlagen aber mit dem neuen übungsblatt bin ich heillos durcheinander geraten.
Deshalb hoffe ich, dass mir einfach mal jemand erklären kann, wie man die angegeben Beispiele grundsätlich angeht?
Meine (bedürftigen) Ansätze:
a.i)
Das ist ein inhomogenes DGL-System das von t abhängt?
Habe ich richtig verstanden, dass ich, um die Lsg. der homogenen Gleichung zu bestimmen, die Eigenvektoren berechnen muss? Wie komme ich von diesen dann zur homogenen Lösung?
ODER kann ich hiervon eine Lösung erraten, d'Alembertsches Reduktionsverfahren anwenden und Grad reduzieren (von der homogenen, inhomogene dann mit variation der Konstanten)
a.ii)
Das ein DGL-System mit konstanten Koeffieziente (?). In meinen Unterlagen steht diesbezüglich etwas Unverständliches mit Jordanform - habe nur keine Ahnung was ich machen muss bzw. wie ich zur LÖSUNG komme bzw. obs einen anderen Weg gibt?
c) Höhere DGL mit konstanten Koeffizienten. Schön.
Muss ich eine Lösung "erraten"?
- Hätte [mm] e^{-x} [/mm] gefunden und damit den Ansatz [mm] y=e^{-x}*z(x) [/mm] gemacht, das dreimal abgeleitet:
y' = [mm] -e^{-x}z+e^{-x}z'
[/mm]
y'' = [mm] e^{-x}-2e^{-x}z'+e^{-x}z''
[/mm]
y''' = [mm] -e^{-x}z +3ee^{-x}z'-3e^{-x}z''+e^{-x}z'''
[/mm]
Das eingesetzt führt auf die Gleichung [mm] e^{-x}z'''+2e^{-x}z''=0.
[/mm]
Hier hab ich keine Ahnung, aber ich nehme an, ich kann w=z'' substituieren. Damit komme ich auf [mm] w=e^{-2x} [/mm] und z = [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x}, [/mm] was durch rückeinsetzen auf y= [mm] \bruch{1}{4}e^{-3x} [/mm] führt.
Stimmt das? Ist das dann die gesamte Lösung?
b) geht das ähnlich wie in c)? Was mache ich mit den Anfangswerten?
Sorry dass hier so viel auf einmal steht, da die Aufgaben aber ähnlich sind dachte ich, ich schreibe sie in eine Diskussion...
Bin für JEDEN Hinweis dankbar, da ich einfach nicht wirklich weiss wie ich meinen mentalen Kakau lösen soll.... :-S
Vielen vielen dank fürs lesen!
LG bollera
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:19 Di 16.11.2010 | | Autor: | bollera |
Hallo Fred,
wow, DANKE, die Skripten haben mir sehr weitergeholfen! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Jetzt habe ich aber dafür Probleme mit den dummen Matrizen: ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wenn ich das richtig verstanden hab, muss ich jeweils die Eigenwerte berechnen um so mal das homogene System zu lösen?
Gut, für a) bekomme ich Eigenwert 2 (zweifach) und Eigenvektor [mm] \vec v={1\choose 0}. [/mm] Leider weiss ich jetzt nicht wie's weitergeht, wie komme ich zu nem zweiten Vektor für mein Fundamentalsystem? (Sorry, das gehört in LinAlg...)
Bei b) kommen mir die Eigenvektoren 3.3247184753, [mm] -1.3376410007\pm0.5622791648*i [/mm] heraus. Könnte das mal jemand nachrechnen :-S bzw. mir sagen wie ich damit weitertun soll....???
Wie ich von der homogenen Lösung zur inhomogene komm, weiss ich, steck nur grad so schön fest! :-S
Danke danke danke.
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Hallo bollera,
> Hallo Fred,
> wow, DANKE, die Skripten haben mir sehr weitergeholfen!
>
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> Jetzt habe ich aber dafür Probleme mit den dummen
> Matrizen:
>
> Wenn ich das richtig verstanden hab, muss ich jeweils die
> Eigenwerte berechnen um so mal das homogene System zu
> lösen?
>
> Gut, für a) bekomme ich Eigenwert 2 (zweifach) und
> Eigenvektor [mm]\vec v={1\choose 0}.[/mm] Leider weiss ich jetzt
> nicht wie's weitergeht, wie komme ich zu nem zweiten Vektor
> für mein Fundamentalsystem? (Sorry, das gehört in
> LinAlg...)
Eine Lösung hast Du ja schon mal: [mm]\pmat{1 \\ 0}*e^{2*t}[/mm]
Eine zweite linear unabhängige Lösung erhältst Du durch den Ansatz
[mm]y\left(t\right)=\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}, \ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \IR^{2}[/mm]
>
> Bei b) kommen mir die Eigenvektoren 3.3247184753,
> [mm]-1.3376410007\pm0.5622791648*i[/mm] heraus. Könnte das mal
> jemand nachrechnen :-S bzw. mir sagen wie ich damit
> weitertun soll....???
>
> Wie ich von der homogenen Lösung zur inhomogene komm,
> weiss ich, steck nur grad so schön fest! :-S
>
> Danke danke danke.
Gruss
MathePower
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Hallo bollera,
> Danke, mathepower! 
>
> Will ja auch nicht lästig sein... aber weiss jemand, ob
> die angegebenen eigenwerte für beispiel b stimmen? Dh.
> soll ich da ernsthaft weitermachen? Byw. stimmt der Ansatz
> so überhaupt oder soll ich gleich was anderes versuchen?
>
Nun, bei a) ii) sind die Eigenwerte alle ganzzahlig.
>
> danke jedenfalls euch zwei!
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/diffgln1/dgl-2-06.pdf