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DGL: Superposition
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Di 26.03.2019
Autor: Takota

Hallo!

Es geht um die Superposition von Durchbiegungsfällen (Balkenbiegung), also mit der Hilfe von vohrhandenen tabellarischen Biegefällen einen, evtl. komplizierteren, Biegefall zu lösen.

Mich interessiert hier der mathematische Hintergrund und frage mich warum das Möglich ist. Erste recherche im Internet sagen, das es an der linearität der inhomogenen linearen DGL liegt:

E*I(x)* y"(x) = Mb(x);

E = E-Modul ;
I(x) Flächenträgheitsmoment 2. Grades;
Mb(x) = Biegemomentenfunktion

Ich habe dann auch was von der Superposition von lin. homogenen DGL gelesen, aber wir habe hier ja ein inhomogene DGL. vorliegen...

Die inhomogene DGL ist keine lin. Abbildung - oder?

Also momentan verstehe ich den mathematischen Zusammenhang nicht.

Kann mir bitte jemand das verständlich erklären?

Danke und Gruß
Taktoa

        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Di 26.03.2019
Autor: leduart

Hallo
von Balkenbiegungen versteh ich wenig, Aber was du hingeschrieben hast ist ja kaum eine DGL
zusammengefasst stet da y''(x)=f(x) also einfach 2 malige Integration?
dann kann man die Integrale wohl einfach addieren
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mi 27.03.2019
Autor: leduart

Hallo Takota,
es wäre netter, wenn du Frage in mehreren Foren stellst das auch zu sagen, bei uns ist das sogar in den Forenregeln!
Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Do 28.03.2019
Autor: fred97

Zur Superposition (allgemein für lineare DGLen 2. Ordnung):

Sei I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und seine $a,b,c,s [mm] \in [/mm] C(I).$ Damit betrachten wir die lineare DGL

(1)  $a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=s(x).$

Neben (1) betrachten wir auch noch die zugeh. homogene DGL

(2) $a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0.$

Nun sei [mm] $\IL_1$ [/mm] die Lösungsmenge von (1) und [mm] $\IL_2$ [/mm] die Lösungsmenge von (2) .

Dann ist  [mm] $\IL_2$ [/mm]  ein zweidimensionaler Untervektorraum von [mm] C^2(I), [/mm] es gilt also das Superpostionsprinzip:

[mm] $y_1,y_2 \in \IL_2$ [/mm] und [mm] \alpha, \beta \in \IR \Rightarrow $\alpha y_1+ \beta y_2 \in \IL_2$. [/mm]

Nun zu [mm] \IL_1: [/mm]

Sei [mm] y_p [/mm] eine spezielle Lösung von (1) und y [mm] \in C^2(I). [/mm] Dann gilt:

$y [mm] \in \IL_1 \gdw [/mm] $ es ex. [mm] $y_h \in \IL_2$ [/mm] mit [mm] $y=y_h+y_p$. [/mm]


Ich hoffe, ich konnte Dir ein wenig helfen.


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