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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 28.06.2007 | | Autor: | barsch |
Sorry, habe ausversehen zweimal gepostet, keine Absicht.
Hi,
folgende DGL will ich lösen:
u'(t)=a(u(t)-b) u(0)=100
u'(t)=a*u(t)-ab
Ich kann zuerst die homogene DGL lösen:
u'(t)=a*u(t)
[mm] f(t)=e^{\integral{a dx}}=e^{ax} [/mm] ist Lösung der homogenen DGL.
Im nächsten Schritt die inhomogene DGL:
u'(t)=a*u(t)-ab
[mm] f(t)=e^{ax}*(100-\integral_{0}^{t}{ab dx}) [/mm] ?
Hier bin ich mir nicht sicher? Ist mein Ansatz richtig? Wie integriere ich "ab"?
Es soll [mm] u(t)=b+(100-u(t))*e^{at} [/mm] m. Wissens die DGL lösen.
Aber wie komme ich darauf?
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Do 28.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Servus Barsch,
vor einigen Jahren hat mir eine gute Freundin von mir die inhomogenene lineare DGL 1. Ordnung ganz wunderbar erklärt. Ich will versuchen Dir diesen Gedankengang zu reproduzieren:
Dein Problem:
y' + ay = b mit y=y(x), a=a(x) und b=b(x).
Schritt 1: Bestimme die Homogene Lösung.
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Stichwort: Separation der Variablen!
Mit y' = dy/dx sieht Dein homogenes Grundproblem so aus:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] + ay = 0
Das formst Du um zu
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = -a dx
Integrieren! (Eine der beiden Integrationskonstanten kannst Du
Dir dabei schenken)
ln(y) = -A + [mm] \hat{c}
[/mm]
"e hoch" nehmen und [mm] c:=e^\hat{c} [/mm] definieren.
y = [mm] c*e^{-A} [/mm] für beliebiges [mm] c:=e^{\hat{c}} \in\IR
[/mm]
Fertig ist die Gesamtheit der homogenen Lösungen!
Schritt 2: Bestimme eine partikuläre Lösung.
============================================
Stichwort: Variation der Konstanten!
Irgendwann kam ein(e) findige(r) Mathematiker(in) auf die glorreiche Idee folgenden
Ansatz einfach mal auszuprobieren: Verwende die Homogene
Lösung, aber nicht mit c=const, sondern mit c=c(x).
Das führt zum Ziel (und ist meine heimliche Lieblingsstelle der
Mathematik):
Ableiten von
(1): [mm] y(x)=c(x)*e^{-A(x)}
[/mm]
liefert uns eine Hilfsgleichung:
(2): y' = [mm] c'*e^{-A} [/mm] - [mm] c*a*e^{-A}
[/mm]
Unser Ziel:
y' + ay = b
Setzen wir (1) und (2) einmal ein:
[mm] (c'*e^{-A} [/mm] - [mm] c*a*e^{-A}) [/mm] + [mm] a*(c*e^{-A}) [/mm] = b
Da fällt das Meiste gleich wieder raus!
[mm] c'*e^{-A} [/mm] = b
Nach c auflösen und integrieren!
c = [mm] \integral{b*e^A dx}
[/mm]
Und damit hast Du Dein c(x) für die Partikuläre Lösung
y = [mm] (\integral{b*e^A dx})*e^{-A}
[/mm]
und wenn ich's mir recht bedenke: Die homogene Lösung steckt da
auch gleich mit drin, denn das c(x)-Erzeugungsintegral liefert
seinerseits wieder eine Integrationskonstante.
Hier hast Du nun also eine komplette Herleitung des Verfahrens.
Ich hoffe sie hilft Dir diese Form DGLs zu verstehen!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Do 28.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung.
Hat mir sehr weitergeholfen.
Danke ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MfG
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