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| Aufgabe | | [mm] y'=e^{x-y} [/mm] Anfangswert y(0)=1 |
Hallo,
so hier die Rechnung mit meinen Fragen:
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}=e^{x-y}=e^{x}*e^{-y} [/mm] --> [mm] e^{y}dy=e^{x}dx
[/mm]
So hier so dem Teil meine Fragen:
1) Woher weiß ich das [mm] y'=\bruch{dy}{dx} [/mm] ist und nicht [mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] ?
2) Ist es so, dass wenn man [mm] e^{-y} [/mm] auf die andere Seite bringt der Exponent das Vorzeichen umkehrt? Generell so oder wurde hier getrickst?
[mm] \integral e^{y}dy [/mm] = [mm] \integral e^{x}dy [/mm] --> [mm] e^{y}=e^{x}+C [/mm] --> ln [mm] e^{y}=ln(e^{x}+C [/mm] --> [mm] y=ln(e^{x}+C)
[/mm]
Wieso ist den nicht [mm] \integral e^{y}dy [/mm] = [mm] \integral e^{x}dy [/mm] --> [mm] e^{y}+C=e^{x}+C [/mm] ??? Da fehlt doch die Integrationskonstante auf der einen Seite!?
Der Rest des Lösungsweges ist klar^^
Danke vorab.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 29.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
also:
> [mm]y'=e^{x-y}[/mm] Anfangswert y(0)=1
> Hallo,
> so hier die Rechnung mit meinen Fragen:
>
>
> [mm]y'=\bruch{dy}{dx}=e^{x-y}=e^{x}*e^{-y}[/mm] -->
> [mm]e^{y}dy=e^{x}dx[/mm]
>
>
> So hier so dem Teil meine Fragen:
> 1) Woher weiß ich das [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm] ist und nicht
> [mm]\bruch{dx}{dy}[/mm] ?
Weil y' ja bedeutet, die funktion y=y(x) nach x abzuleiten, und dy/dx ist im endeffekt nur eine andere Schreibweise (die korrektere um es genau zu nehmen). denn dies ist eine Schreibweise des Differentialquotienten.
dx/dy wäre es, wenn deine Funktion heißen würde x(y) und du diese Funktion nach y ableiten willst.
>
> 2) Ist es so, dass wenn man [mm]e^{-y}[/mm] auf die andere Seite
> bringt der Exponent das Vorzeichen umkehrt? Generell so
> oder wurde hier getrickst?
Nein, es wird nicht getrixt, denn es gilt [mm]e^{-y} = 1/e^{y}[/mm]
also es wird nur multipliziert.
> [mm]\integral e^{y}dy[/mm] = [mm]\integral e^{x}dy[/mm] --> [mm]e^{y}=e^{x}+C[/mm]
> --> ln [mm]e^{y}=ln(e^{x}+C[/mm] --> [mm]y=ln(e^{x}+C)[/mm]
>
>
> Wieso ist den nicht [mm]\integral e^{y}dy[/mm] = [mm]\integral e^{x}dy[/mm]
> --> [mm]e^{y}+C=e^{x}+C[/mm] ??? Da fehlt doch die
> Integrationskonstante auf der einen Seite!?
nein, sie wurde nur...naja weggelassen, denn du kannst ja 2 unbekannte konstanten (was im endeffekt zahlen sind) zu einer zusammen fassen,
Besser aber du schreibst aus eine Seite C1 , auf die andere C2 und wenn du dann zb auf der einen seite -c1 rechnest, steht ja dann da c2-c1 unddie kannst du gleich c setzten (als beispiel).
Gruß JAn
>
> Der Rest des Lösungsweges ist klar^^
>
> Danke vorab.
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