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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Sa 17.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Gegeben: 1) [mm] -d2\psi/d x^2=E\psi [/mm]
0<x<L
[mm] \psi(0)=0 [/mm]
[mm] \psi(L) [/mm] =0
Diskretisieren Sie die 2. Ableitung in 1) durch den Ausdruck
[mm] d^2\psi(x)/dx^2 [/mm] -> [mm] \psi(i+1)+\psi(i-1)-2*\psi(xi)/(delta x)^2
[/mm]
delta x = L/n
[mm] \psi(i)= \psi(i [/mm] delta x)
Verwenden Sie diese Diskretisierung und fuehren Sie damit 1)
in ein linares GS der Form [mm] A\psi [/mm] = [mm] E\psi [/mm] ueber. |
guten Tag,
ich habe keine Ahnung wie das ganze in ein lineares GS ueberfuehren soll..
keonnte mir jemand einen Ansatz geben?
Es gibt Eigenwertfunktionen von denen man plots erstellen soll, ich weiss
nicht wie die Eigenwertfunktionen aussehen sollen....
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> Gegeben: 1) [mm]-d^2\psi/d x^2=E\psi[/mm]
> 0<x<L
> [mm]\psi(0)=0[/mm]
> [mm]\psi(L)[/mm] =0
>
> Diskretisieren Sie die 2. Ableitung in 1) durch den
> Ausdruck
> [mm]d^2\psi(x)/dx^2[/mm] -> [mm]\psi(i+1)+\psi(i-1)-2*\psi(xi)/(delta x)^2[/mm]
>
> delta x = L/n
> [mm]\psi(i)= \psi(i[/mm] delta x)
> Verwenden Sie diese Diskretisierung und fuehren Sie damit
> 1)
> in ein linares GS der Form [mm]A\psi[/mm] = [mm]E\psi[/mm] ueber.
> guten Tag,
>
> ich habe keine Ahnung wie das ganze in ein lineares GS
> ueberfuehren soll..
> keonnte mir jemand einen Ansatz geben?
> Es gibt Eigenwertfunktionen von denen man plots erstellen
> soll, ich weiss
> nicht wie die Eigenwertfunktionen aussehen sollen....
Hallo Lisa,
schreiben wir doch lieber $\ y$ statt [mm] \psi [/mm] und $\ y''$ statt [mm] d^2\psi/d x^2
[/mm]
Damit lautet die DGL:
$\ y''\ =\ -E*y(x)$
Bei der Diskretisierungsformel hast du ein Klammerpaar
vergessen. Mit Bruchstrich geschrieben wäre dies:
$\ [mm] y''(x_i)\ \approx\ \frac{y_{i+1}+y_{i-1}-2*y_i}{(\Delta\,x)^2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{n^2}{L^2}*(y_{i+1}+y_{i-1}-2*y_i)$
[/mm]
Um jetzt zu einem Gleichungssystem der Form
$\ A*y\ =\ E*y$
zu kommen, muss man nun das y (bzw. das frühere [mm] \psi) [/mm] neu
als einen Vektor auffassen. Das ist nach meiner Ansicht
mathematisch gesehen wirklich keine saubere Sache.
Man sollte wenigstens neue Bezeichnungen einführen !
Aber sei's halt nun so. Neu also sei
$\ y:=\ [mm] \pmat{y_0\\y_1\\...\\...\\y_n}$
[/mm]
wobei $\ [mm] y_i:=\ y(x_i)\ [/mm] =\ [mm] y(i*\Delta\,x)\ [/mm] =\ [mm] y\left(i*\frac{L}{n}\right)$
[/mm]
So, und nun sollte es nicht mehr schwer fallen, das
Gleichungssystem und damit die Matrix A aufzustellen ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 17.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
A = [mm] \pmat{1 &...0\\ -1 & 2 & -1 & 0.... \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0...0\\...\\....& 0 & 1}
[/mm]
es sollte eine Bandmatrix sein
kann ich damit das Eigenwertproblem loesen?
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> wie oben
> A = [mm]\pmat{1 &...0\\ -1 & 2 & -1 & 0.... \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0...0\\...\\....& 0 & 1}[/mm]
>
>
> es sollte eine Bandmatrix sein
>
> kann ich damit das Eigenwertproblem loesen?
Hallo Lisa,
ich denke, dass es Sinn machen würde, zuerst das
gesamte Gleichungssystem (inklusive Faktoren)
aufzuschreiben, um genau zu sehen, wie man das
Ganze als ein Eigenwertproblem darstellen kann.
Die erste und die letzte Gleichung tanzen ja auch
ein wenig aus der Reihe der übrigen (n-1) Gleichungen.
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:17 Sa 17.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
ich brauche ja nur eine Matrix und einen Startvektor weil ich das mit der
power Methode implementieren muss...
ist diese Matrix falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 17.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
loese dies morgen weiter
gruss lisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 19.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 So 18.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
Gleichungssystem:
1*y0 = E*y0
-y0 +2y1- y2 = E*y1
0 -y1 + 2y2 -y3 = E*y2
0 0 -y2 +2y3 - y4 = E*y3
......
somit bekomme ich eine Matrix
1 0 0..........
0 2 0...........
0 0 2 0............
0 0 0 2 0...........
habe ich die Matrix falsch aufgestellt?
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> wie oben
>
> Gleichungssystem:
>
> 1*y0 = E*y0
> -y0 +2y1- y2 = E*y1
> 0 -y1 + 2y2 -y3 = E*y2
> 0 0 -y2 +2y3 - y4 = E*y3
> ......
>
> somit bekomme ich eine Matrix
> 1 0 0..........
> 0 2 0...........
> 0 0 2 0............
> 0 0 0 2 0...........
>
> habe ich die Matrix falsch aufgestellt?
Guten Tag Lisa,
die Gleichungen mit der (approximierten) zweiten Ableitung
können wir ja nur für i=1 ... n-1 aufstellen:
$ \ -\ [mm] y''(x_i)\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\frac{n^2}{L^2}}_{K}\cdot{}(-y_{i-1}+2\cdot{}y_i-y_{i-1})\ [/mm] =\ [mm] E*y_i [/mm] $
Für i=0 und für i=n haben wir die Randbedingungen
[mm] y_0=0 [/mm] und [mm] y_n=0 [/mm] . Diese können wir direkt berücksichtigen
und also das Gleichungssystem auf n-1 Gleichungen
beschränken. Beachte den Vorzeichenwechsel, den ich
vorgenommen habe sowie die Abkürzung K für den Faktor.
Falls ich die Aufgabe richtig verstanden habe, ist E eben-
falls ein konstanter Faktor (und nicht etwa eine Matrix ?).
Deshalb würde ich jetzt noch beidseitig durch K dividieren.
Dann kommen wir auf das Gleichungssystem
$\ [mm] A*y_{red}\ [/mm] =\ [mm] \frac{E}{K}*y_{red}$
[/mm]
wobei unter [mm] y_{red} [/mm] der auf die Komponenten [mm] y_1, y_2, [/mm] ... , [mm] y_{n-1}
[/mm]
reduzierte Vektor y zu verstehen ist.
Die [mm] (n-1)\times(n-1) [/mm] - Matrix A sieht dann so aus:
$\ A\ =\ [mm] \pmat{2&-1&0&0&.....&0\\-1&2&-1&0&.....&0\\0&-1&2&-1&.....&0\\.....&.....&.....&.....&.....&.....\\.....&.....&.....&.....&.....&.....\\0&0&.....&-1&2&-1\\0&0&.....&0&-1&2}$
[/mm]
Darin ist berücksichtigt, dass [mm] y_0=0 [/mm] und [mm] y_n=0 [/mm] sein soll
(erste und letzte Zeile haben am Anfang bzw. am Ende
keine "-1").
Nun hat das Ganze die Form eines Eigenwertproblems,
wobei die Eigenwerte der Bandmatrix A den Werten von
[mm] $\frac{E}{K}\ [/mm] =\ [mm] \frac{E*L^2}{n^2}$ [/mm] entsprechen.
Ich hoffe, dass ich das richtig notiert habe, wäre aber froh,
wenn jemand drüber schauen und eine Rückmeldung geben
würde.
LG Al-Chw.
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