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DGL 1.Ordnung: Trennung der Variablen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:57 Mo 19.09.2011
Autor: ben90

Aufgabe
[mm] y'cos^2 [/mm] x + y = tanx

Ich schaffe die Trennung der Variablen nicht! Wie sieht die TdV aus?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
DGL 1.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Mo 19.09.2011
Autor: MathePower

Hallo ben90,

> [mm]y'cos^2[/mm] x + y = tanx
>  Ich schaffe die Trennung der Variablen nicht! Wie sieht
> die TdV aus?
>  


Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Dann können wir feststellen, wo es klemmt.


>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Mo 19.09.2011
Autor: ben90

y' = (tanx-y) / [mm] cos^2 [/mm] x

Bekomme die Variablen wie gesagt nicht getrennt!

Bezug
                        
Bezug
DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Mo 19.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo ben90,


> y' = (tanx-y) / [mm]cos^2[/mm] x
>  
> Bekomme die Variablen wie gesagt nicht getrennt!

Weiter

[mm]y'=\frac{\tan(x)}{\cos^2(x)}-\frac{y}{\cos^2(x)}[/mm]

Löse zunächst die zugeh. homogene Dgl. [mm]y_h'=-\frac{y}{\cos^2(x)}[/mm] mit Trennung der Var., dann mit Variation der Konst. eine spezielle Lsg. der inhomogenen Dgl.

[mm]y_{inh}[/mm]

Dann [mm]y=y_h+y_{inh}[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
DGL 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 19.09.2011
Autor: ben90

Um die homogene Lösung zu erhalten, darf ich dafür getrennt aufleiten, so wie du es erklärt hast?

Wenn ich zunächst [mm] y/cos^2 [/mm] x ausrechne erhalte ich y=e^-tanx .

Wie berechne ich y'= [mm] tanx/(cos^2 [/mm] x) ?

Bezug
                                        
Bezug
DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mo 19.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Um die homogene Lösung zu erhalten, darf ich dafür
> getrennt aufleiten,

Autsch, sowas kannst du doch nicht sagen!

Wie heißt das richtig???

> so wie du es erklärt hast?
>  
> Wenn ich zunächst [mm]y/cos^2[/mm] x ausrechne erhalte ich
> y=e^-tanx .

Die homogene Dgl. ist [mm] $y'=-\frac{y}{\cos^2(x)}$ [/mm]

Mit Trennung also [mm] $\int{-\frac{1}{y} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \int{\frac{1}{\cos^2(x)} \dx}$ [/mm]

Was zu [mm] $y=c\cdot{}e^{-\tan(x)}$ [/mm] führt.

Nun VdK, mache $c$ von $x$ abh.

[mm] $y(x)=c(x)\cdot{}e^{-\tan(x)}$ [/mm]

Damit gehe in die Ausgangsdgl [mm] $y'=\frac{\tan(x)}{\cos^2(x)}-\frac{y(x)}{\cos^2(x)}$ [/mm]

Damit ergibt sich eine Gleichung für $c'(x)$, in der du durch Integration (eine Substitution ist da hilfreich) das $c(x)$ bestimmen kannst ...

Gruß

schachuzipus

>  
> Wie berechne ich y'= [mm]tanx/(cos^2[/mm] x) ?

Das würde mit einer Substitution gehen, [mm] $u=\tan(x)$ [/mm]

Aber wozu brauchst du das?




Bezug
                        
Bezug
DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mo 19.09.2011
Autor: MathePower

Hallo ben90,

> y' = (tanx-y) / [mm]cos^2[/mm] x
>  
> Bekomme die Variablen wie gesagt nicht getrennt!


Substituiere [mm]u(x)=tan(x)-y(x)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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