DGL 1.Ordnung Hilfe < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aufgabe: Ermittleln sie die allg. Lösung der DGL: (2x+1)*y^`+y+x=0. Welche partikuläre Lösung ergibt sich für y(4)=0 |
Ich hab hier mal was gerechnet, komm da aber dann total durcheinander und nicht mehr zurück auf den rechten Weg. schauts euch mal an und gebt mir bitte Hilfestellungen, wie ich das am besten löse.
(2x+1)*y^'+y+x=0|-x|:(2x+1)
[mm] y^'+\bruch{1}{2x+1}*y=-\bruch{x}{2x+1}
[/mm]
Löse Homogene:
[mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{1}{2x+1}*y
[/mm]
[mm] \integral\bruch{dy}{y}=\integral-\bruch{1}{2x+1}*dx
[/mm]
[mm] y=\pm e^{c}*e^{ln(x+1)}^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] y=\pm k*e^{ln(x+1)}^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
oder auch:
[mm] y_{homo}=\pm k*e^{-\bruch{1}{2}*ln(x+1)}
[/mm]
Einsetzen in die Inhomogene ergibt:
[mm] k^'(x)=e^{-(-\bruch{1}{2}*ln(x+1)}*-\bruch{x}{2x+1}
[/mm]
[mm] \integral dk=\integral(x-1)^{\bruch{1}{2}}*{-{\bruch{x}{2x+1}}}
[/mm]
So das Intergal von, oder besser die Stammfunktion von [mm] \integral(x-1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
ist ja [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{2}*(x-1)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
aber weiter komm ich da nicht. krieg auch nicht hin hier partielle integration anzuwenden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe: Ermittleln sie die allg. Lösung der DGL:
> (2x+1)*y^'+y+x=0. Welche partikuläre Lösung ergibt sich
> für y(4)=0
> Ich hab hier mal was gerechnet, komm da aber dann total
> durcheinander und nicht mehr zurück auf den rechten Weg.
> schauts euch mal an und gebt mir bitte Hilfestellungen, wie
> ich das am besten löse.
>
> (2x+1)*y^'+y+x=0|-x|:(2x+1)
>
> [mm]y^'+\bruch{1}{2x+1}*y=-\bruch{x}{2x+1}[/mm]
>
> Löse Homogene:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{1}{2x+1}*y[/mm]
>
> [mm]\integral\bruch{dy}{y}=\integral-\bruch{1}{2x+1}*dx[/mm]
>
> [mm]y=\pm e^{c}*e^{ln(x+1)}^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]y=\pm k*e^{ln(x+1)}^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> oder auch:
>
> [mm]y_{homo}=\pm k*e^{-\bruch{1}{2}*ln(x+1)}[/mm]
1. Überall wo ln(x+1) muß ln(2x+1) stehen
2.Was soll denn der [mm] \pm [/mm] - Quatsch ?
3. Mach Dich mal mit den Rechengesetzen des Logarithmus vertraut
4. Dann siehst Du: die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet:
(*) $ [mm] y_{homo}(x)= \bruch{c}{\wurzel{2x+1}}$
[/mm]
5. Die Bez. [mm] y_{homo} [/mm] finde ich echt Klasse !
6. Mach mit (*) einen neuen Versuch für die inhomogene Gleichung
FRED
>
> Einsetzen in die Inhomogene ergibt:
>
> [mm]k^'(x)=e^{-(-\bruch{1}{2}*ln(x+1)}*-\bruch{x}{2x+1}[/mm]
>
> [mm]\integral dk=\integral(x-1)^{\bruch{1}{2}}*{-{\bruch{x}{2x+1}}}[/mm]
>
>
> So das Intergal von, oder besser die Stammfunktion von
> [mm]\integral(x-1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> ist ja [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{2}*(x-1)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> aber weiter komm ich da nicht. krieg auch nicht hin hier
> partielle integration anzuwenden.
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Ok, werd ich dann machen ich versteh aber trotzdem nicht wie ich auf deine [mm] y_{homo} [/mm] komme.
wenn ich das so mach wie du sagst komm ich doch auf:
[mm] \integral\bruch{dy}{y}=\integral-\bruch{1}{2x+1}*dx [/mm]
ln|y|=ln*(2x+1)+C
[mm] y=e^{(ln(2x+1)+C)}
[/mm]
[mm] y=e^{(ln(2x+1)}*e^C
[/mm]
[mm] e^C=k
[/mm]
[mm] y_{homo}=k*e^{(ln(2x+1)}
[/mm]
und das ist doch nicht falsch oder? oder ist das das selbe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 08.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> wenn ich das so mach wie du sagst komm ich doch auf:
>
>
> [mm]\integral\bruch{dy}{y}=\integral-\bruch{1}{2x+1}*dx[/mm]
> ln|y|=ln*(2x+1)+C
da ist der erste Fehler
[mm] \integral-\bruch{1}{2x+1}*dx=-1/2*ln|2x+1|+C
[/mm]
>
> [mm]y=e^{(ln(2x+1)+C)}[/mm]
also
ln|y|=-1/2*ln*(2x+1)+C
> [mm]y=e^{(ln(2x+1)}*e^C[/mm]
[mm]y=e^{-1/2(ln(2x+1)}*e^C[/mm]
und [mm] e^{-1/2(ln(2x+1)}=e^{(ln((2x+1)^{-1/2})}=(2x+1)^{-1/2}
[/mm]
> [mm]e^C=k[/mm]
>
> [mm]y_{homo}=k*e^{(ln(2x+1)}[/mm]
>
> und das ist doch nicht falsch oder? oder ist das das
> selbe?
warum du y einfach hinschreibst aber [mm] e^{ln(2x+1)} [/mm] stehen lässt ist unklar.
ausserdem hast du den Fehler bei der Integration.
Rat: mach immer die Probe, indem du wieder differenzierst!
Gruss leduart
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Also ehrlich gesagt komm ich trotzdem nicht weiter wenn ich das in die inhomogene einsetze.
[mm] y_{homo}=k(x)*(2x+1)^{-1/2}
[/mm]
[mm] y^{|}=k^{|}(x)*(2x+1)^{-1/2}*k(x)*(-\bruch{1}{2x+1})^{1/2}
[/mm]
okey, jetzt setz ich das in die inhomogene:
[mm] k^{|}(x)*(2x+1)^{-1/2}*k(x)*(-\bruch{1}{2x+1})^{1/2}+\bruch{1}{2x+1}*k(x)*(2x+1)^{-1/2}=\bruch{x}{2x+1}
[/mm]
da komm ich jetzt nicht weiter.
wenn das überhaupt bis dahin richtig ist.
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Hallo,
also mal wieder etwas geordnet.
Zu lösen ist die DGL (2x+1)*y'+y+x=0 [mm] \gdw y'+\bruch{1}{2x+1}*y=\bruch{-x}{2x+1}
[/mm]
Damit hat die Gleichung die gewünschte form einer linearen DGL 1. Ordnung y'+p(x)*y=q(x)
Jetzt suchen wir den integrierenden Faktor, so dass eine Lösung gegeben ist durch [mm] y(x)=\bruch{1}{I(x)}*\integral{q(x)*I(x)dx} [/mm] wobei [mm] I(x)=e^{\integral{p(x)dx}}
[/mm]
[mm] \integral{p(x)dx}=\integral{\bruch{1}{2x+1}dx}=\bruch{1}{2}*log(2x+1) [/mm] wobei log den natürlichen logarithmus meint.
[mm] \Rightarrow I(x)=e^{\bruch{1}{2}*log(2x+1)}=\wurzel{2x+1}
[/mm]
Zu bestimmen bleibt nun noch das Integral [mm] \integral{q(x)*I(x)dx}=\integral{\bruch{-x}{2x+1}*\wurzel{2x+1}dx}=\integral{\bruch{-x}{\wurzel{2x+1}}dx}
[/mm]
Dem rückst du mit der Substitution u=2x+1 [mm] \gdw [/mm] du=2dx zu Leibe.
Ich hoffe jetzt sind alle Unklarheiten beseitigt ?!
LG
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das war doch mal ne schicke antwort. so hab das so mal weitergerechnet die aufgabe und kam zu folgendem:
Hallo,
also mal wieder etwas geordnet.
Zu lösen ist die DGL (2x+1)*y'+y+x=0 $ [mm] \gdw y'+\bruch{1}{2x+1}\cdot{}y=\bruch{-x}{2x+1} [/mm] $
Damit hat die Gleichung die gewünschte form einer linearen DGL 1. Ordnung y'+p(x)*y=q(x)
Jetzt suchen wir den integrierenden Faktor, so dass eine Lösung gegeben ist durch $ [mm] y(x)=\bruch{1}{I(x)}\cdot{}\integral{q(x)\cdot{}I(x)dx} [/mm] $ wobei $ [mm] I(x)=e^{\integral{p(x)dx}} [/mm] $
$ [mm] \integral{p(x)dx}=\integral{\bruch{1}{2x+1}dx}=\bruch{1}{2}\cdot{}log(2x+1) [/mm] $ wobei log den natürlichen logarithmus meint.
$ [mm] \Rightarrow I(x)=e^{\bruch{1}{2}\cdot{}log(2x+1)}=\wurzel{2x+1} [/mm] $
Zu bestimmen bleibt nun noch das Integral $ [mm] \integral{q(x)\cdot{}I(x)dx}=\integral{\bruch{-x}{2x+1}\cdot{}\wurzel{2x+1}dx}=\integral{\bruch{-x}{\wurzel{2x+1}}dx} [/mm] $
Dem rückst du mit der Substitution u=2x+1 $ [mm] \gdw [/mm] $ du=2dx zu Leibe.
Ich hoffe jetzt sind alle Unklarheiten beseitigt ?!
LG
Hier geht meine Rechnung weiter!!:
Substitution:
u=2x+1
[mm] u^{/}=\bruch{du}{dx}=2
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{2}
[/mm]
[mm] \integral \bruch{-x}{\wurzel{u}}*\bruch{du}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\integral \bruch{-x}{\wurzel{u}}*du
[/mm]
[mm] =-2x*\wurzel{u}+C\Rightarrow Y_{allg.}=-2x*\wurzel{2x+1}+C
[/mm]
Spezielle Lösung mit y(4)=1
[mm] 1=-2*4*\wurzel{2*4+1}+C \Rightarrow
[/mm]
C=25
[mm] y=-2x*\wurzel{2x+1}+25
[/mm]
So ist die Aufgabe jetzt aber gelöst, oder ist da doch noch etwas falsch?
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Hallo,
> das war doch mal ne schicke antwort. so hab das so mal
> weitergerechnet die aufgabe und kam zu folgendem:
> Hier geht meine Rechnung weiter!!:
>
> Substitution:
>
> u=2x+1
>
> [mm]u^{/}=\bruch{du}{dx}=2[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{du}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral \bruch{-x}{\wurzel{u}}*\bruch{du}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*\integral \bruch{-x}{\wurzel{u}}*du[/mm]
Was zur hölle tust du denn jetzt ??? du musst doch das x ersetzen es ist u=2x+1 [mm] \gdw x=\bruch{1}{2}*(u-1) \Rightarrow -\bruch{1}{4}\integral{\bruch{u-1}{\wurzel{u}}du} [/mm] ist zu bestimmen.
Fred hatte dir die lösung oben sogar schon hingeschrieben, daran hättest du schon sehen können, dass du hier mist machst !
> [mm]=-2x*\wurzel{u}+C\Rightarrow Y_{allg.}=-2x*\wurzel{2x+1}+C[/mm]
>
> Spezielle Lösung mit y(4)=1
>
> [mm]1=-2*4*\wurzel{2*4+1}+C \Rightarrow[/mm]
> C=25
>
> [mm]y=-2x*\wurzel{2x+1}+25[/mm]
>
> So ist die Aufgabe jetzt aber gelöst, oder ist da doch
> noch etwas falsch?
ne, leider nicht.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ehrlich gesagt komm ich trotzdem nicht weiter wenn ich
> das in die inhomogene einsetze.
>
> [mm]y_{homo}=k(x)*(2x+1)^{-1/2}[/mm]
Mach das "homo" weg ! Der Ansatz für eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung lautet
[mm]y_{s}=k(x)*(2x+1)^{-1/2}[/mm]
> [mm]y^{|}=k^{|}(x)*(2x+1)^{-1/2}*k(x)*(-\bruch{1}{2x+1})^{1/2}[/mm]
Hier hast Du völlig falsch differenziert ! Statt $*k(x)$ muß es $+k(x)$ lauten (Produktregel !)
Die Ableitung von [mm] (2x+1)^{-1/2} [/mm] ist ebenfalls falsch
Fazit: mit den Rechenregeln des Logarithmus stehst Du genauso auf Kriegsfuß wie mit den Differentiationsregeln. Ändere das bevor Du Differentialgleichungen vergewaltigst
FRED
>
> okey, jetzt setz ich das in die inhomogene:
>
> [mm]k^{|}(x)*(2x+1)^{-1/2}*k(x)*(-\bruch{1}{2x+1})^{1/2}+\bruch{1}{2x+1}*k(x)*(2x+1)^{-1/2}=\bruch{x}{2x+1}[/mm]
>
> da komm ich jetzt nicht weiter.
> wenn das überhaupt bis dahin richtig ist.
>
>
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Ja das ist ja schön und gut und andere aufgaben zur dgl 1.ordnung bekomm ich auch hin. entweder stell ich meine fragen falsch oder kp. Und klar weiß ich das ich einpaar fehler reinmach aber dafür bin ich ja zum üben hier.
klar, weiß ich auch das
$ [mm] y_{s}=k(x)\cdot{}(2x+1)^{-1/2} [/mm] $
das selbe wie:
[mm] \bruch{k(x)}{\wurzel{2x+1}} [/mm] ist: So wie es mir in der ersten antwort schon gesagt wurde.
[mm] y^{/}=\bruch{k^{/}(x)}{\wurzel{2x+1}}+\bruch{k(x)*1}{2*\wurzel{2x+1}}
[/mm]
und diese ableitung müsste doch stimmen, den [mm] \wurzel{x}=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
mein problem ist es, wenn ich das in die inhomogene einsetze:
dann hab ich doch zu stehn:
[mm] \bruch{k^{/}(x)}{\wurzel{2x+1}}+\bruch{k(x)*1}{2*\wurzel{2x+1}}+\bruch{1}{2x+1}*\bruch{k(x)}{\wurzel{2x+1}}=\bruch{-x}{2x+1}
[/mm]
und ich weiß eben nicht, wie ich das zusammenkürze.
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hallo,
ich hatte dir doch den großteil schon vorgerechnet, es fehlte doch nur noch das zusammensetzen:
wir sind also dabei [mm] y(x)=\bruch{1}{I(x)}*\integral{q(x)*I(x)dx} [/mm] zu bestimmen:
substituieren wir also u=2x+1 [mm] \gdw [/mm] du=2dx [mm] \gdw \bruch{du}{2}=dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{\bruch{-x}{2x+1}dx}=\bruch{-1}{4}\integral{\bruch{u-1}{\wurzel{u}}du}=\bruch{-1}{4}*\integral{\wurzel{u}-\bruch{1}{\wurzel{u}}du}
[/mm]
[mm] I(x)=\wurzel{2x+1} [/mm] und [mm] \integral{q(x)*I(x)dx}=\integral{\bruch{-x}{2x+1}dx}=\left[\bruch{\wurzel{u}}{2}-\bruch{u^{\bruch{3}{2}}}{6}+C\right]
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] ...=\bruch{1}{2}*\wurzel{2x+1}-\bruch{1}{6}*(2x+1)^{\bruch{3}{2}}+C
[/mm]
[mm] =\bruch{-1}{3}*(x-1)\wurzel{2x+1}+C
[/mm]
Nun zusammensetzen:
[mm] y(x)=\bruch{1}{\wurzel{2x+1}}*\left[\bruch{-1}{3}*(x-1)\wurzel{2x+1}+C\right]=\bruch{-1}{3}*(x-1)+\bruch{C}{\wurzel{2x+1}}
[/mm]
Es erwartet niemand, dass du alles aus dem Ärmel schüttelst, den Eindruck wollte ich nicht vermitteln, das tut mir leid, wenn es so rüber gekommen ist. Wollte nur, dass du die Posts richtig liest ;)
LG
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das ist ja dann die lösung, dann brauch ich nurnoch c bestimmen. okey. der lösungsweg ist ja einwenig anderer. ist der den du angwendet hast, ein allg. lösungsweg? also könnt ich den auf jede dgl.1 ordnung anwenden? dein weg erscheint mir einwenig kürzer.
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Hallo,
das kannst du auf jede lineare DGL erster Ordnung der Form $ y''+p(x)*y=q(x) $ anwenden. Ob das nun kürzer ist, weiß ich nicht. so löse ich solche DGL's auf jeden fall.
LG
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