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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1.Ordnung mit Substitution
DGL 1.Ordnung mit Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1.Ordnung mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Di 04.07.2017
Autor: Ulquiorra

Aufgabe
Berechnen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme:

3.
y' = [mm] \wurzel{3x + 4y -1} [/mm] -3 , y(0) = 4

Hallo,
ich scheiter hier wieder an einer Dgl, die ich mittels Substitution lösen wollte.
Mein bisheriger Rechenweg:
y' = [mm] \wurzel{3x + 4y -1} [/mm] -3

u = 3x + 4y -1

u' = 3 + 4y'

u' = 3 + 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 4 * 3

u' = 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 9

[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 9

So mein Problem ist jetzt, dass wenn ich dx auf die rechte Seite bringe, ich [mm] \wurzel{u} [/mm] nicht mehr nach links bringen kann und andersrum um danach zu integrieren:

du = (4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 9) dx

Wenn ich versuche es in diese Form zu bringen y' + a(x)y = b(x), habe ich noch eine wurzel um y, also :

u' - 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] = -9

und ich glaube nicht, dass ich hier die Formel [mm] (\integral{b(x)*e^{A(x)} dx} [/mm] + K) * [mm] e^{-A(x)} [/mm] benutzen darf, da ich [mm] \wurzel{y} [/mm] habe anstatt nur y.
Jede Hilfe ist gerne gesehen.

Gruß

        
Bezug
DGL 1.Ordnung mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:29 Mi 05.07.2017
Autor: Martinius

Hallo Ulquiorra,

Diese DGL:  [mm] $y'\;=\; \wurzel{3x + 4y -1}-3 [/mm] $ lässt sich lösen durch die Substitution:  [mm] $u\;=\; \wurzel{3x + 4y -1} [/mm] $ .

[mm] $u^2\;=\: [/mm] 3x + 4y -1 $

[mm] $4y\;=\;u^2-3x+1$ [/mm]

[mm] $y\;=\;\frac{u^2-3x+1}{4}$ [/mm]  differenzieren nach x:

[mm] $y'\;=\;\frac{2*u*u'-3}{4}$ [/mm]  einsetzen in die DGL:

[mm] $\frac{2*u*u'-3}{4}\;=\;u-3$ [/mm]

[mm] $2*u*u'-3\;=\; [/mm] 4u-12$

[mm] $2*u*u'\;=\; [/mm] 4u-9$

[mm] $u'\;=\;\frac{4u-9}{2u}$ [/mm]

[mm] $\int \frac{2u}{4u-9}\; [/mm] du [mm] \;=\; \int [/mm] dx$

[mm] $\frac{u}{2}+\frac{9}{8}*ln|4u-9|\;=\; [/mm] x+C$  resubstituieren:


[mm] $\frac{\wurzel{\;3x+4y-1\;}}{2}+\frac{9*ln\;|\;4*\wurzel{\; 3x + 4y -1\;}-9\;|}{8}\;=\; [/mm] x+C$  


Leider keine explizite Lösung.

LG, Martinius






Bezug
        
Bezug
DGL 1.Ordnung mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Mi 05.07.2017
Autor: Chris84


> Berechnen Sie die Lösung der folgenden
> Anfangswertprobleme:
>  
> 3.
>  y' = [mm]\wurzel{3x + 4y -1}[/mm] -3 , y(0) = 4
>  Hallo,
>  ich scheiter hier wieder an einer Dgl, die ich mittels
> Substitution lösen wollte.
>  Mein bisheriger Rechenweg:
>  y' = [mm]\wurzel{3x + 4y -1}[/mm] -3
>  
> u = 3x + 4y -1
>  
> u' = 3 + 4y'
>  
> u' = 3 + 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 4 * 3
>  
> u' = 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 9
>  
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 9
>  
> So mein Problem ist jetzt, dass wenn ich dx auf die rechte
> Seite bringe, ich [mm]\wurzel{u}[/mm] nicht mehr nach links bringen
> kann und andersrum um danach zu integrieren:
>  
> du = (4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 9) dx

Alternativ kann man hier durch [mm] $(4\sqrt{u}-9)$ [/mm] teilen und dann beide Seiten integrieren ;)

>  
> Wenn ich versuche es in diese Form zu bringen y' + a(x)y =
> b(x), habe ich noch eine wurzel um y, also :
>  
> u' - 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] = -9
>  
> und ich glaube nicht, dass ich hier die Formel
> [mm](\integral{b(x)*e^{A(x)} dx}[/mm] + K) * [mm]e^{-A(x)}[/mm] benutzen
> darf, da ich [mm]\wurzel{y}[/mm] habe anstatt nur y.
>  Jede Hilfe ist gerne gesehen.
>  
> Gruß


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