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DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mi 21.10.2015
Autor: mariem

Hallo,

ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in den Exponentialsummen [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}) [/mm] finden kann.

Wir definieren als [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}) [/mm] die Menge der Ausdrücke
[mm] \alpha =\alpha_0 +\alpha_1 e^{\mu_1 z}+\dots +\alpha_N e^{\mu_N z} [/mm]
wobei [mm] \alpha_0, \alpha_1, \dots [/mm] , [mm] \alpha_N \in \mathbb{C} \setminus \{0\} [/mm] und [mm] \mu_i \in \mathbb{C} \setminus \{0\} [/mm]
(Die [mm] \mu_i [/mm] sind paarweise verschieden.)
(Das "0" ist auch in [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}) [/mm] enthalten.)


Ich habe folgendes gemacht:

Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist
ax'(z)+bx(z)=y(z)  
wobei x,y [mm] \in \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]


[mm] \textbf{Fall 1.} [/mm]
a=0, b [mm] \neq [/mm] 0  

Dann haben wir dass bx(z)=y(z).  
Also die Lösung ist dann [mm] x(z)=\frac{1}{b}y(z) \in \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]




[mm] \textbf{Fall 2.} [/mm]  
[mm] a\neq [/mm] 0, b=0  

Dann haben wir ax'(z)=y(z).

Wir haben dass [mm] x'(z)=\frac{1}{a}y(z), [/mm] wobei [mm] y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}=\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}. [/mm]

Wenn wir die Gleichung [mm] x'(z)=\frac{1}{a}y(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \right [/mm] ) integrieren haben wir folgendes:

[mm] x(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0 z+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i} e^{\mu_i z} \right [/mm] ) +c

Da wir den Term [mm] \alpha_0 [/mm] z haben, gibt es keine Lösung in [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]



[mm] \textbf{Fall 3.} [/mm]  
a=0, b=0  

Dann haben wir 0=y(z).
Wenn y(z)=0 dann haben wir unendlich viele Lösungen.
Wenn [mm] y(z)\neq [/mm] 0 dann haben wir keine Lösung.



[mm] \textbf{Fall 4.} [/mm]
a [mm] \neq [/mm] 0, b [mm] \neq [/mm] 0  

Dann haben wir  ax'(z)+bx(z)=y(z) [mm] \Rightarrow x'(z)+\frac{b}{a} x(z)=\frac{1}{a}y(z) [/mm]     (*).

Wir haben dass [mm] y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}, x(z)=\sum_{i=0}^N \beta_i e^{k_i z}=\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}, [/mm] also [mm] x'(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z} [/mm]  

(*) [mm] \Rightarrow \sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}+\frac{b}{a} \left [\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}\right ]=\frac{1}{a} \left [\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}\right [/mm] ] [mm] \\ [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{b}{a}\beta_0 +\sum_{i=1}^N \left [\beta_i k_i +\frac{b}{a}\beta_i \right ]e^{k_i z}=\frac{1}{a}\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} [/mm]  

Also muss folgendes gelten:

[mm] \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}\beta_0=\frac{1}{a}\alpha_0\\ \beta_i k_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\ \beta_i \mu_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\ \beta_i \left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\ \beta_i =\frac{\alpha_i}{\left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )}, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. [/mm]  

Also [mm] x(z)=\frac{\alpha_0}{b}+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i+\frac{b}{a}}e^{\mu_i z} [/mm]




Ist alles richtig? Habe ich irgendein Fall vergessen?




P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.

        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 Do 22.10.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>
> ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen
> Differentialgleichung erster Ordnung in den
> Exponentialsummen [mm]\text{EXP}(\mathbb{C})[/mm] finden kann.
>
> Wir definieren als [mm]\text{EXP}(\mathbb{C})[/mm] die Menge der
> Ausdrücke
> [mm]\alpha =\alpha_0 +\alpha_1 e^{\mu_1 z}+\dots +\alpha_N e^{\mu_N z}[/mm]
> wobei [mm]\alpha_0, \alpha_1, \dots[/mm] , [mm]\alpha_N \in \mathbb{C} \setminus \{0\}[/mm]
> und [mm]\mu_i \in \mathbb{C} \setminus \{0\}[/mm]
> (Die [mm]\mu_i[/mm] sind paarweise verschieden.)
> (Das "0" ist auch in [mm]\text{EXP}(\mathbb{C})[/mm] enthalten.)
>
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung
> ist
> ax'(z)+bx(z)=y(z)  
> wobei x,y [mm]\in \text{EXP}(\mathbb{C}).[/mm]
>
>
> [mm]\textbf{Fall 1.}[/mm]
> a=0, b [mm]\neq[/mm] 0  
>
> Dann haben wir dass bx(z)=y(z).  
> Also die Lösung ist dann [mm]x(z)=\frac{1}{b}y(z) \in \text{EXP}(\mathbb{C}).[/mm]
>
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 2.}[/mm]  
> [mm]a\neq[/mm] 0, b=0  
>
> Dann haben wir ax'(z)=y(z).
>
> Wir haben dass [mm]x'(z)=\frac{1}{a}y(z),[/mm] wobei
> [mm]y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}=\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}.[/mm]
>
> Wenn wir die Gleichung
> [mm]x'(z)=\frac{1}{a}y(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \right[/mm]
> ) integrieren haben wir folgendes:
>
> [mm]x(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0 z+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i} e^{\mu_i z} \right[/mm]
> ) +c
>
> Da wir den Term [mm]\alpha_0[/mm] z haben, gibt es keine Lösung in
> [mm]\text{EXP}(\mathbb{C}).[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 3.}[/mm]  
> a=0, b=0  
>
> Dann haben wir 0=y(z).
> Wenn y(z)=0 dann haben wir unendlich viele Lösungen.
> Wenn [mm]y(z)\neq[/mm] 0 dann haben wir keine Lösung.
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]
> a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0  
>
> Dann haben wir  ax'(z)+bx(z)=y(z) [mm]\Rightarrow x'(z)+\frac{b}{a} x(z)=\frac{1}{a}y(z)[/mm]
>     (*).
>
> Wir haben dass [mm]y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}, x(z)=\sum_{i=0}^N \beta_i e^{k_i z}=\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z},[/mm]
> also [mm]x'(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}[/mm]  
>
> (*) [mm]\Rightarrow \sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}+\frac{b}{a} \left [\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}\right ]=\frac{1}{a} \left [\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}\right[/mm]
> ] [mm]\\[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{b}{a}\beta_0 +\sum_{i=1}^N \left [\beta_i k_i +\frac{b}{a}\beta_i \right ]e^{k_i z}=\frac{1}{a}\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}[/mm]
>  
>
> Also muss folgendes gelten:
>
> [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}\beta_0=\frac{1}{a}\alpha_0\\ \beta_i k_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\ \beta_i \mu_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\ \beta_i \left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\ \beta_i =\frac{\alpha_i}{\left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )}, \ \ i=1, \dots , N\\ k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N \end{matrix}\right.[/mm]
>  
>
> Also [mm]x(z)=\frac{\alpha_0}{b}+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i+\frac{b}{a}}e^{\mu_i z}[/mm]
>
>
>
>
> Ist alles richtig?

Ja

> Habe ich irgendein Fall vergessen?

Ja, im Fall 4 den "Unterfall"

    [mm] \mu_i =-\bruch{b}{a} [/mm]  für ein i

FRED

>
>
>
>
> P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.  


Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ordnung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:48 Fr 23.10.2015
Autor: mariem

Kann man das auch folgenderweise formulieren?

Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist
ax'(z)+bx(z)=y(z)          (*)
wobei x,y [mm] \in \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]

Wir haben dass [mm] y(z)=\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}, x(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}, [/mm] also [mm] x'(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z} [/mm]

(*) [mm] \Rightarrow a\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}+b\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}= \sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \Rightarrow \sum_{i=1}^N \left [a\beta_i k_i +b\beta_i \right ]e^{k_i z}=\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} [/mm]  

Für [mm] k_i=\mu_i [/mm] haben wir folgendes:

[mm] \sum_{i=1}^N \left [\beta_i (a\mu_i +b) \right ]e^{\mu_i z}=\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \Rightarrow \sum_{i=1}^N \left [(a \mu_i +b)\beta_i -\alpha_i\right ]e^{\mu_i z}=0 [/mm]  


1. Wenn für mindestens ein i mit [mm] \alpha_i\neq [/mm] 0  der Ausdruck [mm] a\mu_i+b=0 [/mm] ist, gibt es keine Lösung.

2. Wenn für mindestens ein i mit [mm] \alpha_i [/mm] = 0 der Ausdruck [mm] a\mu_i+b \neq [/mm] 0 ist, dann haben wir dass [mm] \beta_i=0. [/mm]

3. Wenn für alle i folgendes gilt: [mm] \alpha_i [/mm] = 0 [mm] \land a\mu_i+b [/mm] = 0, dann gibt es unendlich viele Lösungen.  

4. Wenn für alle i folgendes gilt: [mm] \alpha_i\ne0 \land a\mu_i+b\ne0, [/mm] dann gibt es genau eine Lösung, mit [mm] \beta_i=\frac{\alpha_i}{a\mu_i+b}. [/mm]




Oder habe ich irgendein Fall vergessen?


Bezug
                        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 28.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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