DGL 1. Ordnung Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Show that the differential equation
$y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)$
can be reduced to a linear equation by the tranformations
[mm] $u=\frac{F(y)}{G(y)}$ [/mm] or [mm] $u=\frac{G(y)}{F(y)}$
[/mm]
according as
[mm] $\frac{FG'-GF'}{G}$ [/mm] or [mm] $\frac{FG'-GF'}{F}$
[/mm]
is a constant. |
Hallo,
ich habe mich verfranst:
$y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)$
[mm] $u=\frac{F(y)}{G(y)}$ [/mm]
[mm] $u'=\frac{GF_yy'-FG_yy'}{G^2}=y'*\frac{GF_y-FG_y}{G^2}$
[/mm]
[mm] $y'=u'*\frac{G^2}{GF_y-FG_y}$
[/mm]
[mm] $u'*\frac{G}{GF_y-FG_y}=P(x)*u+Q(x)$
[/mm]
Besten Dank fürs Nachschauen.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Show that the differential equation
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> [mm]y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)[/mm]
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> can be reduced to a linear equation by the tranformations
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> [mm]u=\frac{F(y)}{G(y)}[/mm] or [mm]u=\frac{G(y)}{F(y)}[/mm]
>
> according as
>
> [mm]\frac{FG'-GF'}{G}[/mm] or [mm]\frac{FG'-GF'}{F}[/mm]
>
> is a constant.
> Hallo,
>
> ich habe mich verfranst:
>
> [mm]y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)[/mm]
>
> [mm]u=\frac{F(y)}{G(y)}[/mm]
>
> [mm]u'=\frac{GF_yy'-FG_yy'}{G^2}=y'*\frac{GF_y-FG_y}{G^2}[/mm]
>
> [mm]y'=u'*\frac{G^2}{GF_y-FG_y}[/mm]
>
> [mm]u'*\frac{G}{GF_y-FG_y}=P(x)*u+Q(x)[/mm]
Ich denke nicht, daß Du Dich da verfranst hast.
Wenn nämlich
[mm]\frac{G}{GF_y-FG_y}[/mm]
konstant ist, dann hast u eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.
>
> Besten Dank fürs Nachschauen.
>
> LG, Martinius
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
> Hallo Martinius,
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> > Show that the differential equation
> >
> > [mm]y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)[/mm]
> >
> > can be reduced to a linear equation by the tranformations
> >
> > [mm]u=\frac{F(y)}{G(y)}[/mm] or [mm]u=\frac{G(y)}{F(y)}[/mm]
> >
> > according as
> >
> > [mm]\frac{FG'-GF'}{G}[/mm] or [mm]\frac{FG'-GF'}{F}[/mm]
> >
> > is a constant.
> > Hallo,
> >
> > ich habe mich verfranst:
> >
> > [mm]y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)[/mm]
> >
> > [mm]u=\frac{F(y)}{G(y)}[/mm]
> >
> > [mm]u'=\frac{GF_yy'-FG_yy'}{G^2}=y'*\frac{GF_y-FG_y}{G^2}[/mm]
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> > [mm]y'=u'*\frac{G^2}{GF_y-FG_y}[/mm]
> >
> > [mm]u'*\frac{G}{GF_y-FG_y}=P(x)*u+Q(x)[/mm]
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> Ich denke nicht, daß Du Dich da verfranst hast.
>
> Wenn nämlich
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> [mm]\frac{G}{GF_y-FG_y}[/mm]
>
> konstant ist, dann hast u eine lineare DGL mit konstanten
> Koeffizienten.
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> >
> > Besten Dank fürs Nachschauen.
> >
> > LG, Martinius
> >
>
>
> Gruß
> MathePower
Ich möchte noch einmal nachfragen (Mathematiker tun ja oft erstaunenswerte Dinge): bei der Variation der Konstanten wird ja aus einer Konstanten C eine Funktion, bspw. C(x).
Und hier wird plötzlich aus einer Funktion
[mm]f(y)=\frac{G}{GF_y-FG_y}[/mm]
eine Konstante, weil ein Mathematiker vor längerer Zeit auf irgendeine Art gefunden hat, dass sich dieser Typ von DGL mit dieser Substitution lösen lässt?
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo MathePower,
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> > Hallo Martinius,
> >
> > > Show that the differential equation
> > >
> > > [mm]y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)[/mm]
> > >
> > > can be reduced to a linear equation by the tranformations
> > >
> > > [mm]u=\frac{F(y)}{G(y)}[/mm] or [mm]u=\frac{G(y)}{F(y)}[/mm]
> > >
> > > according as
> > >
> > > [mm]\frac{FG'-GF'}{G}[/mm] or [mm]\frac{FG'-GF'}{F}[/mm]
> > >
> > > is a constant.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe mich verfranst:
> > >
> > > [mm]y'=P(x)F(y)+Q(x)G(y)[/mm]
> > >
> > > [mm]u=\frac{F(y)}{G(y)}[/mm]
> > >
> > > [mm]u'=\frac{GF_yy'-FG_yy'}{G^2}=y'*\frac{GF_y-FG_y}{G^2}[/mm]
> > >
> > > [mm]y'=u'*\frac{G^2}{GF_y-FG_y}[/mm]
> > >
> > > [mm]u'*\frac{G}{GF_y-FG_y}=P(x)*u+Q(x)[/mm]
> >
> >
> > Ich denke nicht, daß Du Dich da verfranst hast.
> >
> > Wenn nämlich
> >
> > [mm]\frac{G}{GF_y-FG_y}[/mm]
> >
> > konstant ist, dann hast u eine lineare DGL mit konstanten
> > Koeffizienten.
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> > >
> > > Besten Dank fürs Nachschauen.
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> > > LG, Martinius
> > >
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> >
> > Gruß
> > MathePower
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> Ich möchte noch einmal nachfragen (Mathematiker tun ja oft
> erstaunenswerte Dinge): bei der Variation der Konstanten
> wird ja aus einer Konstanten C eine Funktion, bspw. C(x).
>
> Und hier wird plötzlich aus einer Funktion
>
> [mm]f(y)=\frac{G}{GF_y-FG_y}[/mm]
>
> eine Konstante, weil ein Mathematiker vor längerer Zeit auf
> irgendeine Art gefunden hat, dass sich dieser Typ von DGL
> mit dieser Substitution lösen lässt?
Nun, der Fall, daß [mm]f\left(y\right)[/mm] eine Konstante ist,
tritt zum Beispiel auf, wenn
[mm]F\left(y\right)=y[/mm]
und
[mm]G\left(y\right)=y^{m}[/mm],
was für [mm]m \not=1[/mm] dann eine Bernoullischen Differentialgleichung darstellt.
Für [mm]F\left(y\right)=y^{2}, \ G\left(y\right)=y^{3}[/mm] ist [mm]f\left(y\right)[/mm] keine Konstante mehr.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Di 28.04.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
vielen Dank; jetzt sehe ich etwas klarer.
LG, Martinius
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