DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ist mir ja fast schon peinlich aber ich muss noch mal ne frage zu den dgsl stellen...
ich hab die dgl
x''+2x'+2x=0
ist eine homogene dgl 2. ordnung, also wähle ich [mm] x^{\lambda*t}
[/mm]
als ansatz.
2 mal abgeleitet und eingesetzt liefert die quadratische gleichung:
[mm] \lambda^2+2\lambda+2=0
[/mm]
problem ist jetzt das ich das nicht als [mm] c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+c_{2}*e^{\lambda_{2}*t} [/mm] schreiben kann, da das polynom keine nullstellen in [mm] \IR [/mm] hat.
habs auch komplex versucht aber führt zu nix und im ergebnis soll auch nix mit komplexen zahlen rauskommen.
so wo ich gerade dabei bin hab ich direkt noch mal ne frage ^^ (ist aber erstmal zweitrangig)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{1+x^2}-\wurzel{1-x^2}}{x^2}
[/mm]
ich kann es lösen indem ich 2 mal l'hospital anwende ist aber sehr aufwendig. vll sieht ja hier jemand wo und wie man das was ausklammern kann oder so
DANKE ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Di 26.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arvi!
Erweitere den Bruch mal mit dem Term [mm] $\left( \ \wurzel{1+x^2} \ \red{+} \ \wurzel{1-x^2} \ \right)$ [/mm] und fasse zusammen bzw. kürze.
Gruß
Loddar
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Hallo Arvi-Aussm-Wald,
> ist mir ja fast schon peinlich aber ich muss noch mal ne
> frage zu den dgsl stellen...
> ich hab die dgl
> x''+2x'+2x=0
> ist eine homogene dgl 2. ordnung, also wähle ich
> [mm]x^{\lambda*t}[/mm]
> als ansatz.
> 2 mal abgeleitet und eingesetzt liefert die quadratische
> gleichung:
> [mm]\lambda^2+2\lambda+2=0[/mm]
> problem ist jetzt das ich das nicht als
> [mm]c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm] schreiben
> kann, da das polynom keine nullstellen in [mm]\IR[/mm] hat.
> habs auch komplex versucht aber führt zu nix und im
> ergebnis soll auch nix mit komplexen zahlen rauskommen.
>
Hat die charakterische Gleichung einer DGL 2. Ordnung konjugiert komplexe Lösungen [mm]\lambda_{1,2}=a\pm b i[/mm], so lautet die homogene Lösung der DGL:
[mm]y_{h}\left(t\right)=c_{1}*e^{a*t}*\sin\left(b*t\right)+c_{2}*e^{a*t}*\cos\left(b*t\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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